25、矩阵不等式与矩阵微积分：理论与应用

矩阵不等式与矩阵微积分：理论与应用

1. 从Schur补导出的不等式

1.1 Schur补的基本不等式

考虑矩阵不等式与Schur补的关系。设$A$为$n×n$正定矩阵，$B$为$n×m$矩阵，对于任意对称的$m×m$矩阵$X$，有：
[
Z :=
\begin{bmatrix}
A & B \
B’ & X
\end{bmatrix}
\geq O \Leftrightarrow X \geq B’A^{-1}B
]
若其中一个不等式为严格不等式，另一个也为严格不等式。证明过程通过等式变换：
[
\begin{bmatrix}
I & O \
-B’A^{-1} & I
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A & B \
B’ & X
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I & -A^{-1}B \
O & I
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A & O \
O & X - B’A^{-1}B
\end{bmatrix}
]
简记为$P’ZP = \Delta$，由于$|P| \neq 0$，$Z \geq O$当且仅当$\Delta \geq O$，又因为$A > O$，$\Delta \geq O$当且仅当$X - B’A^{-1}B \ge