8、矩阵的秩、逆与行列式及分块矩阵相关知识

矩阵的秩、逆与行列式及分块矩阵相关知识

在矩阵的研究中，秩、逆和行列式是非常重要的概念，同时分块矩阵也有着广泛的应用。下面将详细介绍这些内容。

矩阵的秩、逆与行列式

在证明 (|AB| = |A||B|) 时，如果 (|A| \neq 0) 且 (|B| \neq 0)，结论很容易得出。但当 (A) 或 (B)（或两者）为奇异矩阵时，需要额外的步骤。这里有两种证明方法：
- 多项式证明法 ：(\phi := |A||B|)，(F := B^{#}A^{#})，(G := (AB)^{#}) 都是 (A) 和 (B) 的 (2n^2) 个元素的多项式。因为 (\phi F = \phi G) 且 (\phi) 不恒为零，所以 (F = G)。
- 连续性证明法 ：考虑矩阵 (A(\epsilon) := A + \epsilon I) 和 (B(\epsilon) := B + \epsilon I)，总能找到 (\delta > 0)，使得对于 (0 < \epsilon < \delta)，(A(\epsilon)) 和 (B(\epsilon)) 非奇异。那么对于 (0 < \epsilon < \delta)，有 ((A(\epsilon)B(\epsilon))^{#} = (B(\epsilon))^{#}(A(\epsilon))^{#})。令 (\epsilon \to 0) 即可得到结果。

下面通过一个例子来求矩阵的逆。已知矩阵 (A) 为：
[
A =
\begin{pmatrix}
1 &