9、矩阵行列式与秩的相关知识解析

矩阵行列式与秩的相关知识解析

1. 行列式相关内容

行列式是矩阵理论中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。下面我们将详细探讨不同类型分块矩阵的行列式计算方法。

1.1 对角零块矩阵的行列式

• 两个非对角零块矩阵 ：若(A)和(D)为方阵，那么(\begin{vmatrix}A&O\O&D\end{vmatrix}=|A||D|)。证明过程如下：设(A)是(m\times m)矩阵，(D)是(n\times n)矩阵，考虑矩阵(\Delta_m = \begin{pmatrix}I_m&O\O&D\end{pmatrix})和(\Lambda_n = \begin{pmatrix}A&O\O&I_n\end{pmatrix})。由于(\Delta_m = \begin{pmatrix}1&0’\0&\Delta_{m - 1}\end{pmatrix})，按第一行展开可得(|\Delta_m| = |\Delta_{m - 1}|)；同理，(\Lambda_n = \begin{pmatrix}\Lambda_{n - 1}&0\0’&1\end{pmatrix})，按最后一行展开可得(|\Lambda_n| = |\Lambda_{n - 1}|)。通过简单的递归可得(|\Delta_m| = |D|)，(|\Lambda_n| = |A|)，所以(\begin{vmatrix}A&O\O&D\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&O\O&I_n\end{vmatrix}\begin{vmat