48、形式概念分析：从知识发现到知识处理

形式概念分析：从知识发现到知识处理

1. 形式概念分析基础

1.1 上下文、概念与概念格

形式概念分析（FCA）始于一个形式上下文 $(G, M, I)$，其中 $G$ 表示对象集，$M$ 表示属性集，$I \subseteq G \times M$ 是 $G$ 和 $M$ 之间的二元关系。若 $(g, m) \in I$（也记为 $gIm$），则表示“对象 $g$ 具有属性 $m$”。

通过两个运算符 $(·)’$ 定义幂集 $(2^G, \subseteq)$ 和 $(2^M, \subseteq)$ 之间的伽罗瓦连接：
- $A’ = {m \in M | \text{ 对于所有 } g \in A : gIm}$
- $B’ = {g \in G | \text{ 对于所有 } m \in B : gIm}$

对于 $A \subseteq G$，$B \subseteq M$，若 $A’ = B$ 且 $B’ = A$，则称 $(A, B)$ 为“形式概念”，其中 $A$ 称为概念的“外延”，$B$ 称为概念的“内涵”。

概念之间存在偏序关系：$(A_1, B_1) \leq (A_2, B_2) \Leftrightarrow A_1 \subseteq A_2$（等价于 $B_2 \subseteq B_1$）。在这个偏序下，所有形式概念的集合构成一个完整的格，称为 $(G, M, I)$ 的“概念格”。

以行星为例，行星作为对象，其特征作为属性，对应的二元上下文如下表所示：
| Planets | Size - small | Size - medium | Size -