7、量子玻尔兹曼机：原理、应用与优势

量子玻尔兹曼机：原理、应用与优势

量子退火不仅可以用于解决复杂的优化问题，其应用范围还涵盖了采样和深度神经网络训练等领域。本文将重点介绍量子玻尔兹曼机（QBM）、受限玻尔兹曼机（RBM）和深度玻尔兹曼机（DBM），探讨它们的原理、训练方法以及量子退火在其中的应用。

1. 从图论到玻尔兹曼机

在介绍玻尔兹曼机之前，我们先回顾一下图论的基本概念。图是由一组顶点和连接这些顶点的边组成的。有向图包含有序的顶点对，而无向图包含无序的顶点对。对于图 (G = (V, E))，其中 (V) 是顶点集，(E) 是边集。对于顶点 (v \in V)，其邻域 (N(v)) 定义为所有通过边与 (v) 相连的顶点的集合。团 (C) 是 (V) 的一个子集，其中所有顶点两两之间都有边相连。

如果向量 (X \in X^{|V|}) 满足 (Law(X_v|(X_w) {w \in V \setminus {v}}) = Law(X_v|(X_w) {w \in N(v)}))，则称 (X) 为马尔可夫随机场。根据Hammersley - Clifford定理，一个严格正的分布满足关于无向图的马尔可夫性质，当且仅当它可以在图上进行因式分解：
[P_X(x) := P(X = x) = \frac{1}{Z} \prod_{C \in \mathcal{C}} \psi_C(x_C)]
其中，({\psi_C} {C \in \mathcal{C}}) 是定义在所有团 (C \in \mathcal{C}) 上的势函数，(Z) 是归一化常数。该分布也可以写成玻尔兹曼或吉布斯分布的形式：
[P_X(x) = \frac{1}{Z} \exp\lef