2、探索线性代数的核心概念：向量空间与正交性

探索线性代数的核心概念：向量空间与正交性

1 向量空间和子空间

在学习线性代数的过程中，向量空间和子空间的概念是理解许多高级话题的基础。向量空间是一组向量，它们满足某些基本的代数性质，如封闭性和可加性。具体来说，一个向量空间 ( V ) 满足以下条件：

• 如果 ( \mathbf{u} ) 和 ( \mathbf{v} ) 是 ( V ) 中的向量，则 ( \mathbf{u} + \mathbf{v} ) 也在 ( V ) 中。
• 如果 ( \mathbf{u} ) 是 ( V ) 中的向量，( c ) 是标量，则 ( c\mathbf{u} ) 也在 ( V ) 中。

1.1 列空间与零空间

考虑一个 ( m \times n ) 矩阵 ( A )，其列空间 ( C(A) ) 是由 ( A ) 的列向量线性组合生成的向量空间。换句话说，列空间是所有可能的 ( A\mathbf{x} ) 的集合，其中 ( \mathbf{x} ) 是 ( n )-维向量。列空间的维度等于矩阵的秩 ( r )。

另一方面，零空间 ( N(A) ) 是所有满足 ( A\mathbf{x} = \mathbf{0} ) 的向量 ( \mathbf{x} ) 的集合。零空间的维度是 ( n - r )，其中 ( n ) 是矩阵的列数，( r ) 是矩阵的秩。

1.2 行空间与左零空间

行空间 ( C(A^T) ) 是由 ( A ) 的行向量线性组合生成的向量空间。行空间的维度同样等于矩阵的秩 ( r )。

左零空间 ( N(A^T) ) 是所有满足