sec(x)的积分

最新推荐文章于 2023-10-12 21:39:35 发布

rgbhi

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分类专栏： # 普林斯顿读本笔记

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正切积分换元法链式求导积分技巧特殊函数

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本文揭示了如何巧妙求解复杂的积分问题——单次正切函数积分，通过乘以特定系数并利用换元法和链式求导法则，最终得出解析表达式。适合对积分技巧感兴趣的读者。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$\int sec(x)^{2}dx=tan(x)+C$

2次方的正切积分比较好求，正好是tan(x)

但是单次的咋求呢?

$\int sec(x)dx$ = ？

需要做一个一般人不太想得到的操作

需要乘以 $1=\frac{sec(x)+tan(x)}{sec(x)+tan(x)}$

即

$\int sec(x)dx=\int sec(x)*\frac{sec(x)+tan(x)}{sec(x)+tan(x)}dx$

$=\int \frac{sec(x)^{2}+sec(x)tan(x)}{sec(x)+tan(x)}d(x)$

因为

${tan(x)}'=sec(x)^{2}$

${sec(x)}'={(cos(x)^{-1})}'=-1*(cos(x)^{-2})*-sin(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)^{2}}=sec(x)tan(x)$

所以

$\int \frac{sec(x)^{2}+sec(x)tan(x)}{sec(x)+tan(x)}d(x)=\int \frac{1}{sec(x)+tan(x)}d(x)sec(x)^{2}+sec(x)tan(x)$

$=\int \frac{1}{sec(x)+tan(x)}d(x){(sec(x)+tan(x))}'$

将 $sec(x)+tan(x)$ 换元为 t

根据链式求导法则，有 $d(t)=d(x){(t)}'$

$=\int \frac{1}{t}dt$

$=ln |t|+C$

将 $t=sec(x)+tan(x)$ 代入回去

$= ln |sec(x)+tan(x)| +C$

结论

$\int sec(x)dx== ln |sec(x)+tan(x)| +C$

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