算法讲解088【必备】动态规划专题总结与预告

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解题流程：

1.尝试，进行逻辑分析，分类讨论，观察规律，从简单到复杂，正难求反，利用答案的集合性质等等，观察数据量。

2.写出递归

3.挂缓存，改成记忆化搜索

4.根据记忆化搜索写出严格位置依赖版本的dp

5.画图，举例子，建立空间感，构建空间压缩版本。

常见dp

1.背包dp

背包动态规划（DP）是动态规划中的经典问题，其核心在于在有限容量的背包中选择物品以达到最优解（如最大价值、最小成本等）。以下是常见的背包问题类型及其解法总结：

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​​1. 0-1 背包问题​​

​​问题描述​​：

• 给定物品的重量 w[i] 和价值 v[i]，每个物品只能选或不选（0或1），求容量为 W 的背包能装的最大价值。

​​解法​​：

• ​​状态定义​​：dp[i][j] 表示前 i 个物品在容量 j 时的最大价值。
• ​​转移方程​​：
  • 不选第 i 个物品：dp[i][j] = dp[i-1][j]
  • 选第 i 个物品：dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]
• ​​优化​​：
  • 空间压缩到一维数组：dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i])，需​​逆序​​更新 j（从 W 到 w[i]）。

​​例题​​：

• LeetCode 416. 分割等和子集（转化为背包问题）

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​​2. 完全背包问题​​

​​问题描述​​：

• 物品可以选无限次，其他条件同 0-1 背包。

​​解法​​：

• ​​转移方程​​：
  • dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])（注意 i 不变，表示可重复选）。
• ​​优化​​：
  • 一维数组​​正序​​更新 j（从 w[i] 到 W）。

​​例题​​：

• LeetCode 322. 零钱兑换（最小硬币数）

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​​3. 多重背包问题​​

​​问题描述​​：

• 物品 i 最多选 s[i] 次。

​​解法​​：

• ​​二进制拆分​​：将 s[i] 拆成 1, 2, 4, ..., 2^k, s[i]-2^k 的组合，转化为 0-1 背包。
• ​​单调队列优化​​：时间复杂度优化到 O(NW)（较复杂）。

​​例题​​：

• 经典问题：物品有限次数的背包最大价值。

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​​4. 分组背包问题​​

​​问题描述​​：

• 物品分为若干组，每组只能选一个物品。

​​解法​​：

• ​​状态转移​​：
  • 对每组枚举所有物品：dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[k]] + v[k])，其中 k 是当前组的物品。

​​例题​​：

• AcWing 9. 分组背包问题

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​​5. 二维费用背包​​

​​问题描述​​：

• 背包有​​两种容量限制​​（如重量和体积），物品对应两种费用。

​​解法​​：

• ​​状态扩展​​：dp[i][j][k] 表示前 i 个物品在两种容量 j 和 k 时的最优解。
• 优化为二维数组：dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j-w1[i]][k-w2[i]] + v[i])。

​​例题​​：

• LeetCode 474. 一和零（字符串的 0 和 1 数量限制）

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​​6. 背包问题求方案数​​

​​问题描述​​：

• 求装满背包的​​方案数​​（不要求最优解）。

​​解法​​：

• ​​状态定义​​：dp[j] 表示容量 j 的方案数。
• ​​转移方程​​：dp[j] += dp[j-w[i]]（初始 dp[0]=1）。

​​例题​​：

• LeetCode 494. 目标和（转化为背包方案数）

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​​7. 背包问题求具体方案​​

​​问题描述​​：

• 要求输出最优解的具体物品选择方案。

​​解法​​：

• ​​回溯法​​：记录状态转移路径，从 dp[N][W] 倒推物品选择。
• ​​标记数组​​：在 DP 过程中记录是否选择了当前物品。

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​​通用技巧​​

1. ​​初始化​​：
   • 要求恰好装满：dp[0]=0，其他初始化为 -∞。
   • 不要求装满：dp[0...W]=0。
2. ​​遍历顺序​​：
   • 0-1 背包：逆序更新容量。
   • 完全背包：正序更新容量。
3. ​​问题转化​​：将非背包问题（如子集和、字符串匹配）转化为背包模型。

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通过掌握这些类型和对应的状态转移方程，可以解决大多数背包 DP 问题。建议从 0-1 背包和完全背包入手，逐步扩展到其他变种。

2.状压dp

状压动态规划（状态压缩 DP）通常用于处理​​状态包含多个维度且每个维度是二元选择​​的问题（如“选/不选”、“存在/不存在”）。其核心是通过​​二进制数​​压缩状态，从而高效地表示和转移状态。以下是常见的状压 DP 类型及解法总结：

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​​1. 旅行商问题（TSP）​​

​​问题描述​​：

• 给定一个带权无向图，求从起点出发经过所有点​​恰好一次​​并回到起点的​​最短路径​​。

​​状态设计​​：

• dp[mask][u]：表示当前已访问的节点集合为 mask（二进制位表示），且当前位于节点 u 时的最短路径长度。
• ​​初始化​​：dp[1 << start][start] = 0（起点初始距离为 0）。
• ​​转移方程​​：
  • 对于所有未访问的节点 v，更新 dp[mask | (1 << v)][v] = min(dp[mask][u] + dist[u][v])。
• ​​答案​​：dp[(1 << n) - 1][start]（所有点都访问过，并回到起点）。

​​优化​​：

• 预处理两点间最短距离（如 Floyd 算法）。
• 使用​​记忆化搜索​​减少重复计算。

​​例题​​：

• LeetCode 943. 最短超级串（类似 TSP）
• 洛谷 P1171 售货员的难题

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​​2. 棋盘覆盖/放置问题​​

​​问题描述​​：

• 在棋盘上放置棋子（如车、皇后、多米诺骨牌），要求满足某些限制（如不攻击、不重叠等），求方案数或最大收益。

​​状态设计​​：

• dp[i][mask]：表示处理到第 i 行时，当前行的状态为 mask（二进制位表示是否放置）。
• ​​转移方程​​：
  • 枚举上一行的状态 prev_mask，检查是否冲突（如列冲突、对角线冲突）。
  • dp[i][mask] += dp[i-1][prev_mask]（合法转移）。

​​例题​​：

• LeetCode 52. N 皇后 II（状压枚举皇后位置）
• LeetCode 1349. 参加考试的最大学生数（棋盘放置学生，不相邻）

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​​3. 子集 DP（枚举子集）​​

​​问题描述​​：

• 对集合的所有子集进行 DP 计算（如子集和、子集覆盖等）。

​​状态设计​​：

• dp[mask]：表示当前子集 mask 的最优解（如最小操作数、最大价值等）。
• ​​转移方程​​：
  • 枚举 mask 的所有子集 submask，更新 dp[mask] = min(dp[mask], dp[submask] + cost)。

​​优化​​：

• ​​枚举子集技巧​​：for (int submask = mask; submask; submask = (submask - 1) & mask)
• ​​预处理​​：提前计算某些子集的性质（如是否合法）。

​​例题​​：

• LeetCode 698. 划分为 k 个相等的子集
• LeetCode 1655. 分配重复整数

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​​4. 位运算优化 DP​​

​​问题描述​​：

• 利用位运算（如 AND、OR、XOR）进行状态转移，常用于​​位操作相关的最优化问题​​。

​​状态设计​​：

• dp[mask]：表示当前位状态 mask 的最优解。
• ​​转移方程​​：
  • 通过位运算更新状态，如 dp[mask | new_bits] = min(dp[mask] + cost)。

​​例题​​：

• LeetCode 847. 访问所有节点的最短路径（TSP 变种，BFS + 状压）
• LeetCode 1125. 最小的必要团队（技能覆盖问题）

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​​5. 轮廓线 DP（插头 DP）​​

​​问题描述​​：

• 处理​​网格图上的路径/连通性问题​​（如哈密顿路径、括号匹配等），适用于​​逐格转移​​的问题。

​​状态设计​​：

• dp[i][j][mask]：表示处理到 (i, j) 时，轮廓线状态为 mask（记录插头信息）。
• ​​转移方程​​：
  • 根据当前格是否放置、是否连通等更新 mask。

​​例题​​：

• 洛谷 P5056 【模板】插头 DP
• HDU 1693 Eat the Trees（多回路覆盖）

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​​通用技巧​​

1. ​​状态压缩方式​​：
   • 用 int 或 long long 的二进制位表示状态（mask & (1 << i) 检查第 i 位是否选中）。
2. ​​初始化与边界​​：
   • 初始状态通常为 dp[0][...] = 0 或 dp[1 << start][...] = 0。
3. ​​优化方法​​：
   • ​​预处理合法状态​​（如 mask 不能有相邻的 1）。
   • ​​滚动数组​​优化空间（如 dp[2][mask]）。
4. ​​时间复杂度​​：
   • 通常为 O(n * 2^n)（适用于 n ≤ 20 的情况）。

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​​典型例题​​

类型	例题
TSP 问题	LeetCode 943. 最短超级串
棋盘放置	LeetCode 1349. 最大学生数
子集 DP	LeetCode 698. 划分为 k 个子集
位运算 DP	LeetCode 847. 访问所有节点的最短路径
插头 DP	HDU 1693 Eat the Trees

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掌握这些类型后，可以解决大多数状压 DP 问题。建议从 ​​TSP 问题​​ 和 ​​棋盘放置问题​​ 入手，熟悉状态压缩的基本思路。

3.数位dp

数位动态规划（Digit DP）用于解决与​​数字各位数字相关​​的计数或最优化问题，通常涉及​​数字的位数限制、数字性质（如回文、数位和）、区间统计​​等。以下是常见的数位 DP 类型及解法总结：

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​​1. 基本数位 DP（统计满足条件的数字个数）​​

​​问题描述​​：

• 给定区间 [L, R]，统计满足某种条件的数字个数（如不含 4、数位递增等）。

​​解法​​：

1. ​​状态设计​​：
   • dp[pos][state][limit]：
     • pos：当前处理到数字的第 pos 位（从高位到低位）。
     • state：记录前几位的影响（如前缀和、前导零等）。
     • limit：是否受数字上限约束（如 R=123，前两位是 12 时第三位不能超过 3）。
2. ​​转移方程​​：
   • 枚举当前位的数字 d（0 到 9，受 limit 限制）。
   • 根据 state 更新状态（如数位和、是否出现某数字）。
3. ​​记忆化搜索​​：
   • 递归实现，记忆化 limit=false 的状态（避免重复计算）。

​​例题​​：

• LeetCode 233. 数字 1 的个数
• LeetCode 1012. 至少有 1 位重复的数字

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​​2. 数位和问题​​

​​问题描述​​：

• 统计区间 [L, R] 内数位和满足条件的数字（如和等于 K、是 K 的倍数等）。

​​解法​​：

• ​​状态扩展​​：在 state 中记录当前数位和 sum。
• ​​剪枝优化​​：若 sum 超过目标或无法达到目标，提前终止。

​​例题​​：

• LeetCode 1088. 易混淆数 II（数位和+数字旋转）
• SPOJ SUMTRIAN（数位和限制）

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​​3. 数字性质问题（回文、单调性等）​​

​​问题描述​​：

• 统计满足特定性质的数字（如回文数、数位递增/递减等）。

​​解法​​：

• ​​状态设计​​：
  • 回文数：记录前一半数字，检查是否对称。
  • 单调递增：记录前一位数字，确保当前位不小于前一位。

​​例题​​：

• LeetCode 902. 最大为 N 的数字组合（单调递增）
• LeetCode 1067. 范围内的数字计数（回文数统计）

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​​4. 数字与模数问题​​

​​问题描述​​：

• 统计数字模 K 等于特定值的数字个数（如 %K=0）。

​​解法​​：

• ​​状态扩展​​：在 state 中记录当前数字模 K 的值 mod。
• ​​转移方程​​：
  • new_mod = (mod * 10 + d) % K，更新状态。

​​例题​​：

• LeetCode 1397. 找到所有好字符串（数位 DP + KMP）
• Codeforces 55D. Beautiful numbers（模数+数位 DP）

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​​5. 数字转换问题（二进制、特殊进制）​​

​​问题描述​​：

• 处理非十进制数字（如二进制、三进制）的统计问题。

​​解法​​：

• ​​调整数位枚举范围​​（如二进制枚举 0 或 1）。
• ​​状态设计​​与十进制类似，但需注意进制转换。

​​例题​​：

• LeetCode 600. 不含连续 1 的非负整数（二进制数位 DP）
• LeetCode 902. 最大为 N 的数字组合（任意进制）

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​​通用技巧​​

1. ​​问题转化​​：
   • 将 [L, R] 的问题转化为 [0, R] - [0, L-1]。
2. ​​状态设计原则​​：
   • 必须包含​​当前位 pos​​ 和​​约束状态 limit​​。
   • 根据问题添加额外状态（如 sum、mod、前导零 lead）。
3. ​​记忆化优化​​：
   • 仅记忆化 limit=false 的状态（limit=true 的状态只会计算一次）。
4. ​​边界处理​​：
   • 注意 L=0 或 R=1e18 等特殊情况。

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​​模板代码（记忆化搜索）​​

def digit_dp(num):
    s = str(num)
    n = len(s)
    
    @cache
    def dfs(pos, state, limit, lead):
        if pos == n:
            return 1 if state_valid(state) else 0  # 根据问题调整
        res = 0
        up = int(s[pos]) if limit else 9
        for d in range(0, up + 1):
            new_limit = limit and (d == up)
            new_lead = lead and (d == 0)
            if new_lead:
                res += dfs(pos + 1, state, new_limit, new_lead)
            else:
                new_state = update_state(state, d)  # 根据问题更新状态
                res += dfs(pos + 1, new_state, new_limit, new_lead)
        return res
    
    return dfs(0, init_state, True, True)

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​​典型例题​​

类型	例题
基本计数	LeetCode 233. 数字 1 的个数
数位和	SPOJ SUMTRIAN
回文数	LeetCode 1067. 数字计数
模数问题	Codeforces 55D. Beautiful numbers
二进制 DP	LeetCode 600. 不含连续 1 的整数

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掌握这些类型后，可以解决大多数数位 DP 问题。建议从​​基本计数问题​​（如统计不含 4 的数字）入手，逐步扩展到复杂状态设计（如模数、数位和）。

4.区间dp

区间动态规划（Interval DP）是一种用于解决​​区间划分、合并、最优解​​问题的动态规划方法，其核心思想是通过枚举区间的分割点，逐步求解更大区间的最优解。以下是常见的区间 DP 类型及解法总结：

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​​1. 区间最值/计数问题​​

​​问题描述​​：

• 给定一个序列（如数组、字符串），求满足条件的区间的最值（如最大值、最小值）或方案数。

​​解法​​：

• ​​状态定义​​：
  • dp[i][j]：表示区间 [i, j] 的最优解或方案数。
• ​​转移方程​​：
  • 枚举分割点 k（i ≤ k < j），将区间 [i, j] 拆分为 [i, k] 和 [k+1, j]，合并结果。
  • 例如：dp[i][j] = max(dp[i][k] + dp[k+1][j] + cost(i, j, k))。

​​例题​​：

• LeetCode 312. 戳气球（区间 DP 经典问题）
• LeetCode 516. 最长回文子序列（区间 DP 求回文子序列）

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​​2. 区间合并问题（合并代价最小化）​​

​​问题描述​​：

• 将多个区间合并为一个，每次合并相邻区间需支付一定代价，求最小总代价。

​​解法​​：

• ​​状态定义​​：
  • dp[i][j]：表示合并区间 [i, j] 的最小代价。
• ​​转移方程​​：
  • dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum(i, j))，其中 sum(i, j) 是区间 [i, j] 的权重和。

​​例题​​：

• LeetCode 1000. 合并石头的最低成本（K 堆合并问题）
• 洛谷 P1880 石子合并（环形区间 DP）

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​​3. 区间划分问题（分割为若干子区间）​​

​​问题描述​​：

• 将一个序列划分为若干子区间，每个子区间需满足特定条件（如和不超过 K），求最小划分数或最大收益。

​​解法​​：

• ​​状态定义​​：
  • dp[i]：表示前 i 个元素的最优解（通常一维即可）。
• ​​转移方程​​：
  • dp[i] = min(dp[j] + cost(j+1, i))，其中 j < i 且 [j+1, i] 满足条件。

​​例题​​：

• LeetCode 132. 分割回文串 II（最少分割次数）
• LeetCode 1278. 分割回文串 III（修改字符使回文）

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​​4. 区间匹配问题（括号、回文等）​​

​​问题描述​​：

• 处理括号匹配、回文子序列等需要对称性的区间问题。

​​解法​​：

• ​​状态定义​​：
  • dp[i][j]：表示区间 [i, j] 是否匹配或最长匹配长度。
• ​​转移方程​​：
  • 若 s[i] 和 s[j] 匹配（如括号或相同字符），则 dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2。
  • 否则，dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])。

​​例题​​：

• LeetCode 5. 最长回文子串（区间 DP 求最长回文子串）
• LeetCode 678. 有效的括号字符串（带通配符的括号匹配）

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​​5. 环形区间 DP（破环成链）​​

​​问题描述​​：

• 当序列是环形（如首尾相连）时，需特殊处理。

​​解法​​：

• ​​破环成链​​：将原数组复制一份接在后面（nums + nums），然后对 2n 长度的序列做区间 DP。
• ​​最终答案​​：枚举所有可能的起点 i，取 dp[i][i+n-1] 的最优解。

​​例题​​：

• 洛谷 P1880 石子合并（环形石子合并）
• LeetCode 1547. 切棍子的最小成本（环形切割问题）

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​​通用技巧​​

1. ​​遍历顺序​​：
   • 区间 DP 通常按​​区间长度从小到大​​枚举（先算小区间，再算大区间）。
2. ​​初始化​​：
   • 单个元素的区间 dp[i][i] 通常有初始值（如回文长度为 1，合并代价为 0）。
3. ​​时间复杂度优化​​：
   • 四边形不等式优化（将 O(n^3) 优化到 O(n^2)）。
4. ​​空间优化​​：
   • 滚动数组（如 dp[2][n]）或对角线遍历（减少空间占用）。

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​​模板代码（区间 DP 框架）​​

def interval_dp(s):
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    
    # 初始化单个字符或小区间
    for i in range(n):
        dp[i][i] = initial_value
    
    # 枚举区间长度
    for length in range(2, n + 1):
        for i in range(n - length + 1):
            j = i + length - 1
            # 枚举分割点
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = update(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + cost(i, j, k))
    
    return dp[0][n-1]

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​​典型例题​​

类型	例题
区间最值	LeetCode 312. 戳气球
区间合并	LeetCode 1000. 合并石头的最低成本
区间划分	LeetCode 132. 分割回文串 II
区间匹配	LeetCode 5. 最长回文子串
环形 DP	洛谷 P1880 石子合并

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掌握这些类型后，可以解决大多数区间 DP 问题。建议从​​石子合并问题​​和​​戳气球问题​​入手，熟悉区间 DP 的基本思路。

5.树型dp

树型动态规划（Tree DP）是一种基于树结构的动态规划方法，常用于处理​​树上的最优解、计数、路径统计​​等问题。以下是常见的树型 DP 类型及解法总结：

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​​1. 基础树型 DP（子树统计）​​

​​问题描述​​：

• 统计树中每个子树的性质（如节点数、最大值、和等）。

​​解法​​：

• ​​状态定义​​：
  • dp[u]：表示以节点 u 为根的子树的最优解或统计值。
• ​​转移方程​​：
  • 递归遍历子树，合并子节点的结果：dp[u] = combine(dp[v1], dp[v2], ...)。
• ​​遍历方式​​：
  • 后序遍历（先处理子节点，再处理父节点）。

​​例题​​：

• LeetCode 543. 二叉树的直径（求最长路径）
• LeetCode 124. 二叉树中的最大路径和（路径和最大）

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​​2. 树上背包问题（分组依赖）​​

​​问题描述​​：

• 在树中选择节点（如保留/删除），满足某些依赖关系（如选子节点必须选父节点），求最大/最小价值。

​​解法​​：

• ​​状态定义​​：
  • dp[u][k]：表示以 u 为根的子树中选择 k 个节点的最优解。
• ​​转移方程​​：
  • 类似分组背包，枚举子节点的分配数量：

    for v in children[u]:
        for j in range(k, 0, -1):  # 逆序避免重复计数
            for t in range(1, j):  # 分配给子节点 v 的容量
                dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j-t] + dp[v][t])

• ​​优化​​：
  • 如果树是二叉树，可以用左右子树分开处理。

​​例题​​：

• LeetCode 337. 打家劫舍 III（树上不相邻节点最大和）
• 洛谷 P2014 选课（依赖背包）

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​​3. 换根 DP（二次扫描）​​

​​问题描述​​：

• 对每个节点作为根时，求整棵树的性质（如节点到其他节点的距离和、最大值等）。

​​解法​​：

1. ​​第一次 DFS​​：计算以某个根（如 u=0）为基准的子树信息（如 dp[u]）。
2. ​​第二次 DFS​​：通过父节点的信息推导其他节点的值：
   • dp[v] = dp[u] - contribution(v) + new_contribution(v)。

​​例题​​：

• LeetCode 834. 树中距离之和（换根求距离和）
• LeetCode 310. 最小高度树（换根找最优根）

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​​4. 树的路径问题（最长/最短路径）​​

​​问题描述​​：

• 求树中满足条件的路径（如最长路径、路径和等于 K 的路径数等）。

​​解法​​：

• ​​状态定义​​：
  • dp[u][0/1]：记录以 u 为根的子树的最长路径（可能需要分是否拐弯）。
• ​​转移方程​​：
  • 最长路径可能由两条子路径拼接而成：

    dp[u][0] = max(dp[v][0] + w)  # 不拐弯的路径
    dp[u][1] = max(dp[u][0], dp[v1][0] + dp[v2][0] + w1 + w2)  # 拐弯路径

​​例题​​：

• LeetCode 687. 最长同值路径
• LeetCode 1372. 二叉树中的最长交错路径

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​​5. 树的染色问题（相邻节点限制）​​

​​问题描述​​：

• 给树节点染色，相邻节点有颜色限制（如不同色），求方案数或最小成本。

​​解法​​：

• ​​状态定义​​：
  • dp[u][c]：表示节点 u 染颜色 c 时的方案数或成本。
• ​​转移方程​​：
  • 枚举子节点的颜色（不与父节点冲突）：

    for v in children[u]:
        for c_child in colors:
            if c_child != c:
                dp[u][c] += dp[v][c_child]

​​例题​​：

• LeetCode 968. 监控二叉树（最小覆盖问题）
• Codeforces 1223E. Paint the Tree（染色最大化价值）

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​​通用技巧​​

1. ​​遍历顺序​​：
   • 通常用 ​​DFS 后序遍历​​（先处理子树，再处理父节点）。
2. ​​状态设计​​：
   • 根据问题决定是否需要记录父节点状态（如 dp[u][c][parent_c]）。
3. ​​空间优化​​：
   • 如果子节点状态可复用，可以用滚动数组（如 dp[2][...]）。
4. ​​边界处理​​：
   • 叶子节点的初始化（如 dp[leaf][...] = base_value）。

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​​模板代码（树型 DP 框架）​​

def tree_dp(root):
    # 初始化 DP 表
    dp = defaultdict(dict)
    
    def dfs(u, parent):
        # 初始化当前节点的状态
        dp[u][...] = initial_value
        
        for v in tree[u]:
            if v == parent:
                continue
            dfs(v, u)  # 递归处理子节点
            # 合并子节点的状态
            dp[u][...] = combine(dp[u][...], dp[v][...])
    
    dfs(root, -1)
    return dp[root][...]

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​​典型例题​​

类型	例题
子树统计	LeetCode 543. 二叉树的直径
树上背包	LeetCode 337. 打家劫舍 III
换根 DP	LeetCode 834. 树中距离之和
路径问题	LeetCode 687. 最长同值路径
染色问题	LeetCode 968. 监控二叉树

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掌握这些类型后，可以解决大多数树型 DP 问题。建议从​​基础子树统计​​和​​树上背包问题​​入手，逐步扩展到换根 DP 和路径问题。

常见方法

在动态规划（DP）问题中，除了掌握各类问题的状态设计和转移方程外，​​通用优化技巧和解题策略​​同样至关重要。以下是结合前文所有讨论的 ​​3 种常见方法及其适用场景​​的总结，帮助你在实战中快速识别问题并优化解法。

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​​1. 优化枚举：减少无效状态或转移​​

​​核心思想​​：通过数学性质、贪心策略或问题约束，减少需要枚举的状态或决策，降低时间复杂度。

​​适用场景及技巧​​：

• ​​背包问题​​：
  • ​​完全背包​​：正序枚举容量（j 从 w[i] 到 W），避免重复计算的无效状态。
  • ​​多重背包​​：二进制拆分将 s[i] 次物品拆分为 1, 2, 4,... 的组合，转化为 0-1 背包，减少枚举次数。
• ​​区间 DP​​：
  • ​​四边形不等式优化​​：将分割点 k 的枚举范围从 [i, j) 缩小到 [k_opt[i][j-1], k_opt[i+1][j]]，时间复杂度从 O(n^3) 降至 O(n^2)。
  • ​​例题​​：石子合并问题。
• ​​树型 DP​​：
  • ​​树上背包​​：逆序枚举容量（类似 0-1 背包），避免子树状态重复计算。
  • ​​例题​​：洛谷 P2014 选课。

​​经典案例​​：

• ​​LeetCode 322. 零钱兑换​​：完全背包中，正序枚举金额 amount 可确保硬币无限使用。

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​​2. 根据数据量猜解法：从输入规模反推算法​​

​​核心思想​​：通过题目给出的数据范围，快速判断可能的 DP 类型和优化方向。

​​常见数据范围与解法​​：

数据范围 (n)	可能的 DP 类型	优化思路
n ≤ 20	状压 DP	二进制状态压缩
n ≤ 100	区间 DP / 二维背包	O(n^3) 或 O(n^2) 优化
n ≤ 1000	线性 DP / 树型 DP	滚动数组优化空间
n ≤ 1e5	换根 DP / 贪心 + DP	线性扫描或数学性质

​​实战技巧​​：

• ​​状压 DP​​：当 n ≤ 20 时，状态数 2^n 约百万级，可直接枚举。
  • ​​例题​​：LeetCode 847. 访问所有节点的最短路径（n=12）。
• ​​数位 DP​​：当问题与数字位数相关（如 L,R ≤ 1e18），通常用数位 DP。
  • ​​例题​​：LeetCode 233. 数字 1 的个数。

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​​3. 根据 DP 表反推具体方案：回溯或记录路径​​

​​核心思想​​：在 DP 求解最优值后，通过反向追踪状态转移路径，还原具体方案（如选哪些物品、如何分割区间等）。

​​常见方法​​：

1. ​​记录转移来源​​：
   • 在 DP 表中额外维护 from[i][j]，记录状态 (i,j) 的最优转移来源。
   • ​​例题​​：LeetCode 1143. 最长公共子序列，通过 from 数组回溯 LCS 字符串。
2. ​​贪心回溯​​：
   • 根据 DP 值的单调性反向推导（如从终点倒推起点）。
   • ​​例题​​：LeetCode 45. 跳跃游戏 II（记录每一步的最远跳跃位置）。
3. ​​分步重构​​：
   • 适用于背包问题，通过 dp[j] 和 dp[j-w[i]] 的差值判断是否选了物品 i。
   • ​​例题​​：0-1 背包输出具体方案。

​​代码模板（以 0-1 背包为例）​​：

# 假设 dp[j] 表示容量 j 的最大价值，from[j] 记录是否选了物品 i
for i in range(n, 0, -1):
    if j >= w[i] and dp[j] == dp[j - w[i]] + v[i]:
        print(f"选物品 {i}")
        j -= w[i]

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​​综合应用场景​​

1. ​​背包问题 + 输出方案​​：
   • 先跑标准 DP，再逆序检查物品是否被选。
2. ​​区间 DP + 构造分割点​​：
   • 记录分割点 k，递归输出左右区间（如矩阵连乘问题）。
3. ​​树型 DP + 换根求全局解​​：
   • 第一次 DFS 计算子树信息，第二次 DFS 用父节点更新子节点（如 LeetCode 834. 树中距离之和）。

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​​总结：方法选择与优先级​​

1. ​​先看数据范围​​：确定 DP 类型（状压、区间、树型等）。
2. ​​优化枚举​​：优先考虑数学性质或问题约束（如单调性、贪心剪枝）。
3. ​​方案还原​​：若需输出路径，设计 DP 表时同步记录转移来源。

通过结合这些方法，可以高效解决大多数 DP 问题，并在竞赛或面试中快速定位优化方向。