洛谷刷题之p1048-优快云博客

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[NOIP2005 普及组] 采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$ （ $\le T \le 1000$ ）和 $M$ （ $\le M \le 100$ ），用一个空格隔开， $T$ 代表总共能够用来采药的时间， $M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$ ）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据， $\le 10$ ；
对于全部的数据， $\le 100$ 。

【题目来源】

NOIP 2005 普及组第三题

题解

题目分析：
这是一个典型的 0-1 背包问题。我们拥有有限的总时间 T 以及若干种草药。每种草药都有其采摘所需的时间 t 以及对应的价值 v 。我们的目标是在给定的时间内，决定采摘哪些草药，从而使得总价值达到最大。

代码思路：

首先，通过输入操作读取给定的总时间 T 和草药的数量 m 。
```
cin>>T>>m;
```
接着，使用两层循环来处理每一种草药和每个可能的时间点。
- 外层循环 i 用于遍历每一种草药，从第一种到第 m 种。
- 内层循环 j 用于遍历从 1 到 T 的每个时间点。
```
for(int i=1;i<=m;i++)
{
    for(int j=1;j<=T;j++)
    {
        // 以下是具体的处理逻辑
    }
}
```
对于每个时间点 j ，我们先将当前位置的值 f[i][j] 初始化为不选择当前草药时的最大价值，即上一轮（i - 1 ）在该时间点的最大价值 f[i - 1][j] 。
```
f[i][j]=f[i-1][j];
```
然后，如果当前时间 j 减去采摘当前草药所需的时间 t 还有剩余（即 j - t >= 0 ），我们就比较选择当前草药所能获得的价值（即上一轮在时间 j - t 的最大价值加上当前草药的价值 f[i - 1][j - t] + v ）和不选择当前草药的价值（即当前的 f[i][j] ），并取两者中的较大值来更新 f[i][j] 。
```
if(j-t>=0)
{
    f[i][j]=max(f[i-1][j-t]+v,f[i][j]);
}
```
最后，输出在时间 T 内能够获得的最大价值 f[m][T] 。
```
cout<<f[m][T]<<endl;
```

这种动态规划的方法通过逐步计算和保存中间结果，巧妙地解决了在有限时间内选择草药以获取最大价值的复杂问题。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

// 总时间
int T;
// 草药数量
int m;
// 二维数组 f 用于存储中间计算结果
int f[110][1010];

// 解决采药问题的函数
void solve()
{
    // 输入总时间和草药数量
    cin>>T>>m;
    // 遍历每一种草药
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        // 输入当前草药的采摘时间和价值
        int t,v;
        cin>>t>>v;
        // 遍历每个时间点
        for(int j=1;j<=T;j++)
        {
            // 初始化当前位置的值为上一种草药在该时间点的最大价值
            f[i][j]=f[i-1][j];
            // 如果当前时间减去采摘当前草药所需时间还有剩余
            if(j-t>=0)
            {
                // 更新当前位置的值为选择当前草药和不选择的最大值
                f[i][j]=max(f[i-1][j-t]+v,f[i][j]);
            }
        }
    }
    // 输出在给定时间内能够获得的最大价值
    cout<<f[m][T]<<endl;
}

// 主函数
int main()
{
    // 调用 solve 函数进行计算
    solve();
    return 0;
}