P11233 [CSP-S 2024] 染色题解

题目

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题目描述

给定一个长度为 $n$ 的正整数数组 $A$，其中所有数从左至右排成一排。

你需要将 $A$ 中的每个数染成红色或蓝色之一，然后按如下方式计算最终得分：

设 $C$ 为长度为 $n$ 的整数数组，对于 $A$ 中的每个数 $A_i$（$1\le i\le n$）：

• 如果 $A_i$ 左侧没有与其同色的数，则令 $C_i=0$。
• 否则，记其左侧与其最靠近的同色数为 $A_j$，若 $A_i=A_j$，则令 $C_i=A_i$，否则令 $C_i=0$。

你的最终得分为 $C$ 中所有整数的和，即 $\sum _{i=1}^n{C}_i$。你需要最大化最终得分，请求出最终得分的最大值。

输入格式

本题有多组测试数据。

输入的第一行包含一个正整数 $T$，表示数据组数。

接下来包含 $T$ 组数据，每组数据的格式如下：

第一行包含一个正整数 $n$，表示数组长度。

第二行包含 $n$ 个正整数 $A_1,A_2,\dots ,A_n$，表示数组 $A$ 中的元素。

输出格式

对于每组数据：输出一行包含一个非负整数，表示最终得分的最大可能值。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
3
1 2 1
4
1 2 3 4
8
3 5 2 5 1 2 1 4

输出 #1

1
0
8

说明/提示

【样例 1 解释】

对于第一组数据，以下为三种可能的染色方案：

1. 将 $A_1,A_2$ 染成红色，将 $A_3$ 染成蓝色（$121$），其得分计算方式如下：

• 对于 $A_1$，由于其左侧没有红色的数，所以 $C_1=0$。
• 对于 $A_2$，其左侧与其最靠近的红色数为 $A_1$。由于 $A_1\ne A_2$，所以 $C_2=0$。
• 对于 $A_3$，由于其左侧没有蓝色的数，所以 $C_3=0$。
  该方案最终得分为 $C_1+C_2+C_3=0$。

2. 将 $A_1,A_2,A_3$ 全部染成红色（$121$），其得分计算方式如下：

• 对于 $A_1$，由于其左侧没有红色的数，所以 $C_1=0$。
• 对于 $A_2$，其左侧与其最靠近的红色数为 $A_1$。由于 $A_1\ne A_2$，所以 $C_2=0$。
• 对于 $A_3$，其左侧与其最靠近的红色数为 $A_2$。由于 $A_2\ne A_3$，所以 $C_3=0$。
  该方案最终得分为 $C_1+C_2+C_3=0$。

3. 将 $A_1,A_3$ 染成红色，将 $A_2$ 染成蓝色（$121$），其得分计算方式如下：

• 对于 $A_1$，由于其左侧没有红色的数，所以 $C_1=0$。
• 对于 $A_2$，由于其左侧没有蓝色的数，所以 $C_2=0$。
• 对于 $A_3$，其左侧与其最靠近的红色数为 $A_1$。由于 $A_1=A_3$，所以 $C_3=A_3=1$。
  该方案最终得分为 $C_1+C_2+C_3=1$。

可以证明，没有染色方案使得最终得分大于 $1$。

对于第二组数据，可以证明，任何染色方案的最终得分都是 $0$。

对于第三组数据，一种最优的染色方案为将 $A_1,A_2,A_4,A_5,A_7$ 染为红色，将 $A_3,A_6,A_8$ 染为蓝色（$35251214$），其对应 $C=[0,0,0,5,0,1,2,0]$，最终得分为 $8$。

【样例 2】

见选手目录下的 color/color2.in 与 color/color2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据，保证：$1\le T\le 10$，$2\le n\le 2\times 10^5$，$1\le A_i\le 10^6$。

测试点	$n$	$A_i$
$1\sim 4$	$\le 15$	$\le 15$
$5\sim 7$	$\le 10^2$	$\le 10^2$
$8\sim 10$	$\le 2000$	$\le 2000$
$11,12$	$\le 2\times 10^4$	$\le 10^6$
$13\sim 15$	$\le 2\times 10^5$	$\le 10$
$16\sim 20$	$\le 2\times 10^5$	$\le 10^6$

解析

我们设 $d{p}_i$ 表示到 $i$ 为止前面数的最大得分, $ls{t}_{a_i}$表示在这个点前面 $a_i$ 出现的位置, $su{m}_i$ 表示到i为止的最大相邻的价值和$($具体见代码$)$
那么我们可以得到
$d{p}_i=max(d{p}_{i-1},d{p}_{ls{t}_{a_i}}+a_i+su{m}_{i-1}-su{m}_{ls{t}_{a_i}})$
但是，这个是错的
我被卡了半天

1. 因为如果出现如下图这种情况，我们没有统计
2. 如果出现相邻的两个相同的$a_i$的话，两个$sum$相减会出现负数，应该为0
   
   1解释：因为我们直接从lst[4]转移，所以我们没有把两对3加进去，但是事实来说是可以加进去的，所以我们的$d{p}_{ls{t}_{a_i}}$因改为$d{p}_{ls{t}_{a_i}+1}$
   2解释：一旦出现相邻的话，我们就会加一个负数，在不相邻情况，一直$a_i\ne a_{i-1}$,所以$su{m}_i=su{m}_{i-1}$, 所以我们把$su{m}_{i-1}$ 改为 $su{m}_i$, 我们经过验算，发现此时$su{m}_i-su{m}_{ls{t}_{a_i}}$正好为$0$

所以最终得到的转移式为：$d{p}_i=max(d{p}_{i-1},d{p}_{ls{t}_{a_i}+1}+a_i+su{m}_i-su{m}_{ls{t}_{a_i}})$

所以大功告成， 请见代码

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long 

using namespace std;

namespace langfengya
{
	void Main();
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	langfengya::Main();
	return 0;
}

namespace langfengya
{
	const int N = 2e5 + 10;
	int f[N];
	int sum[N], a[N];
	int t;
	int n;
	int last[1000010];
	void read()
	{
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			cin >> a[i];
			sum[i] = sum[i - 1] + a[i] * (a[i] == a[i - 1]);
		}
	}
	void solve()
	{
		cin >> t;
		while (t--)
		{
			read();
			memset(last, 0, sizeof(last));
			for (int i = 1; i <= n; i++) 
			{
				f[i] = f[i - 1];
				if (last[a[i]])
				{
					f[i] = max(f[i], f[ last[a[i]] + 1] + sum[i] - sum[ last[a[i]] + 1 ] + a[i]);
				}
				last[a[i]] = i;
			}
			cout << f[n] << endl;
		}
	}
	void Main()
	{
		solve(); 
	}
}