洛谷1011 车站（数学，模拟）

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本文详细解析了LUOGU-P1011车站问题，通过数学和模拟方法，推导出任意站点上车人数的计算公式，并提供了一段完整的C++实现代码。

LUOGU-P1011 车站（数学，模拟）

题目描述

火车从始发站（称为第1站）开出，在始发站上车的人数为a，然后到达第2站，在第2站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第2站开出时（即在到达第3站之前）车上的人数保持为a人。从第3站起（包括第3站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第n-1站），都满足此规律。现给出的条件是：共有N个车站，始发站上车的人数为a，最后一站下车的人数是m（全部下车）。试问x站开出时车上的人数是多少？

输入格式：
a(<=20)，n(<=20)，m(<=2000)，和x(<=20)，

输出格式：
从x站开出时车上的人数。

输入输出样例

输入样例#1：
5 7 32 4
输出样例#1：
13

分析：

因为“上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数”，所以实际上这一站添加的人数相当于前一站上车的人数
设第二站上车人数为b，因为“上车的人数都是前两站上车人数之和“，递推出每一站的上车人数：

1	2	3	4	5	6	7	…
a	b	a+b	a+2b	2a+3b	3a+5b	5a+8b

所以可以初始化上车人数数组，用ac[i]表示a的系数，用bc[i]表示b的系数

void init_c()
{
    ac[1] = 1; ac[2] = 0;
    bc[1] = 0; bc[2] = 1;
    for(int i = 3; i <= n; i++)
    {
        ac[i] = ac[i-1] + ac[i-2];
        bc[i] = bc[i-1] + bc[i-2];
    }
}

所以第x站的人数 = a * (ac[1]+ac[2]+ac[3]+…+ac[x]) + b * (bc[1]+bc[2]+bc[3]+…+bc[x])
用sac[i]表示(ac[1]+ac[2]+ac[3]+…+ac[i])，sbc[i]同理

void init_sc()
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        sac[i] = ac[i] + sac[i-1];
        sbc[i] = bc[i] + sbc[i-1];
    }
}

然后根据最后一站（第n站）下车的人数即可推出b，即

$b = m - ( a + a * s a c [ n - 3 ] ) s b c [ n - 3 ]$ $b = \dfrac{m - (a+a*sac[n-3])}{sbc[n-3]}$
注意：因为第n站为终点站，所以该站下车的人数等于从n-1站开出是的人数，所以要在n-1的基础上-2，即sac[n-3]
那么从第x站开出时车上人数（此时不用-1）：

$x = a + a * s a c [x - 2] + b * s b c [n - 2]$ $x = a + a * sac[x-2] + b * sbc[n-2]$

代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 100 + 10;
int ac[MAXN], bc[MAXN];    //a的系数和b的系数, 代表上车的人数
int sac[MAXN], sbc[MAXN];
int a, n, m, x, b;
void init_c()
{
    ac[1] = 1; ac[2] = 0;
    bc[1] = 0; bc[2] = 1;
    for(int i = 3; i <= n; i++)
    {
        ac[i] = ac[i-1] + ac[i-2];
        bc[i] = bc[i-1] + bc[i-2];
    }
}

void init_sc()
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        sac[i] = ac[i] + sac[i-1];
        sbc[i] = bc[i] + sbc[i-1];
    }
}


int main()
{
    cin >> a >> n >> m >> x;
    init_c();
    init_sc();


    b = (m - a - a * sac[n-3]) / sbc[n-3];
    int ans = a + a * sac[x-2] + b * sbc[x-2];
    cout << ans;
    return 0;
}