2-sat问题

最新推荐文章于 2024-09-28 12:00:00 发布

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本文详细介绍了2-SAT问题及其解决思路，通过实例展示了如何利用2-SAT解决飞机着陆时间安排问题，旨在帮助读者理解并掌握2-SAT算法。

2-sat问题：

给定一堆约束条件，每个都形如“xi为真/假或xj为真/假”，即：xi为真/假和xj为真/假中必有一个成立，现在问是否可以全部满足

思路：

可以把xi为真看成两个节点：2i, 2i+1（因为2i^1=2i+1，可以互相转化）
假如说约束条件为“xi为真或xj为假”，那么2i表示“xi为真”为真，2i+1表示“xi为真”为假；2j表示“xj为假”为真，2j+1表示”xj为假“为假
则，由2j+1为真可以推出2i为真，同理，由2i+1可以推出2j为真
所以，可以从2j+1到2i；2i+1到2j连两条有向边
对于起点u，可以假设他为真，并对他进行深搜，如果过程中发现有点的两个结点都为真，则不能
再假设他为假，再深搜，如果他还是不能，则不能建图

例题：

有n架飞机要着陆，每个都可以选择早着陆或晚着陆，请安排着陆方式，要求着陆时间差值的最小值最大

思路：”最小值最大“可以用二分，问题即可转化成着陆时间差值不大于mid是否成立，所以着陆时间小于mid的两个点，至多有一个成立，等价于这两个点的补至少有一个成立，这样就转化为了2-sat

代码：（调了一个上午，参考刘汝佳《算法竞赛入门经典训练指南》）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 2000 + 10;


struct twosat
{
    vector<int> G[MAXN*2];
    bool mark[MAXN*2];
    int s[MAXN*2], c;
    int n;  //外面的n 

    bool dfs(int u)
    {
        if(mark[u^1]) return false;
        if(mark[u]) return true;
        mark[u] = true;
        s[c++] = u;
        for(int i = 0; i < G[u].size(); i++)
        {
            int v = G[u][i];
            if(!dfs(v)) return false;
        }
        return true;
    }

    void init(int n)
    {
        this->n/*这个是外面的n*/ = n; //将外面的n赋值为里面的n
        for(int i = 0; i < 2*n; i++)  G[i].clear();
        memset(mark, 0, sizeof(mark));
    }

    void add(int x, int xval, int y, int yval)   //x == xval or y == yval
    {
        x = 2 * x + xval;   //2i
        y = 2 * y + yval;   //2j
        G[x^1].push_back(y);
        G[y^1].push_back(x);
    }

    bool solve()
    {
        for(int i = 0; i < 2*n; i += 2)
            if(!mark[i] && !mark[i+1])
            {
                c = 0;
                if(!dfs(i)) 
                {
                    while(c > 0) mark[s[--c]] = false; //如果深搜它不成功，则所有的假设都错误
                    if(!dfs(i+1)) return false;   //如果假设他为真假都不对，不能成图 
                }
            }
        return true;
    }
};

twosat solver;

int t[MAXN][2], n;

bool test(int mid)
{
    solver.init(n);    
    for(int i = 0; i < n; i++) for(int a = 0; a <= 1; a++)
        for(int j = i + 1; j < n; j++) for(int b = 0; b <= 1; b++)
        {
            if(abs(t[i][a] - t[j][b]) < mid) solver.add(i, a^1, j, b^1);
        } 
    return solver.solve();
}

int main()
{
    cin >> n;
    int l = 0, r = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) for(int a = 0; a <= 1; a++)
    {
        cin >> t[i][a];
        r = max(r, t[i][a]);
    }

    while(l < r)
    {
        int mid = l + (r-l+1)/2;    //令相邻两个着陆时间都 大于等于mid  //时间差小于mid的两个时间不能同时满足

        if(test(mid)) l = mid; else r = mid-1;
    }

    cout << l;
    return 0;


}