2—sat问题

 在实际问题中，2-SAT问题在大多数时候表现成以下形式：有N对物品，每对物品中必须选取一个，也只能选取一个，并且它们之间存在某些限制关系（如某两个物品不能都选，某两个物品不能都不选，某两个物品必须且只能选一个，某个物品必选）等，这时，可以将每对物品当成一个布尔值（选取第一个物品相当于0，选取第二个相当于1），如果所有的限制关系最多只对两个物品进行限制，则它们都可以转化成9种基本限制关系，从而转化为2-SAT模型。

在程序实现中，我们把初始的n个物品变成2n个节点，然后从0开始编号到2*n-1号。其中原始第i个物品对应节点i*2和i*2+1。如果我们mark[i*2]节点，那么表示我们i节点设为假，如果我们mark[i*2+1]节点，那么我们i节点设为真。同一个节点只能mark一种结果(即对于原始i来说，我们只能mark[i*2]或mark[i*2+1]其中之一)。

然后加入存在i假或j假的论述，我们就引一条图中从2*i+1到2*j的边，再引一条2*j+1到2*i的边，表示如果i是真的，那么j肯定是假的(否则之前的结论不成立)。且如果j是真的，那么i肯定是假的(否则之前的结论也不成立)。

算法模板：

1. #include<cstdio>  
2. #include<cstring>  
3. #include<vector>  
4. using namespace std;  
5. const int maxn=10000+10;  
6. struct TwoSAT  
7. {  
8.     int n;  
9.     vector<int> G[maxn*2];  
10.     bool mark[maxn*2];  
11.     int S[maxn*2],c;  
12.   
13.     bool dfs(int x)  
14.     {  
15.         if(mark[x]) return true;  
16.         if(mark[x^1]) return false;  
17.         mark[x]=true;  
18.         S[c++]=x;  
19.         for(int i=0;i<G[x].size();i++)  
20.             if(!dfs(G[x][i])) return false;  
21.         return true;  
22.     }  
23.   
24.     void init(int n)  
25.     {  
26.         this->n=n;  
27.         for(int i=0;i<2*n;i++) G[i].clear();  
28.         memset(mark,0,sizeof(mark));  
29.     }  
30.   
31.     void add_clause(int x,int xval,int y,int yval)  
32.     {  
33.         x=x*2+xval;  
34.         y=y*2+yval;  
35.         G[x^1].push_back(y);  
36.         G[y^1].push_back(x);  
37.     }  
38.   
39.     bool solve()  
40.     {  
41.         for(int i=0;i<2*n;i+=2)  
42.         if(!mark[i] && !mark[i+1])  
43.         {  
44.             c=0;  
45.             if(!dfs(i))  
46.             {  
47.                 while(c>0) mark[S[--c]]=false;  
48.                 if(!dfs(i+1)) return false;  
49.             }  
50.         }  
51.         return true;  
52.     }  
53. };