反素数ant

最新推荐文章于 2021-01-31 16:02:07 发布

任小喵r

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分类专栏： ACM

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本文介绍了一种算法，用于找出不超过给定数N的最大反质数。反质数是一种特殊的正整数，其约数个数超过所有比它小的正整数。文章通过数论的结论和深度搜索算法，结合剪枝优化，有效地解决了这一问题。

问题 B: 反素数ant

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题目描述

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？

输入

一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。

输出

不超过N的最大的反素数。

样例输入

样例输出

[提交][状态]

首先，需要知道几个数论的结论（省略了证明）

1.每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。即n = P1^a1 * P2^a2 * …………* (P1 < P2 < ……Pn) （算数基本定理）

2.一个数的因子个数=(a1+1)*(a2+1)*……*(an+1)

3.较小的指数个数一定小于较大的，即a1>=a2>=……>=an

4.一个2000000000以内的数字不会有超过12个素因子

然后进行深搜，加一个剪枝

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxx=1e5+100;
const int INF=1e9;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long ll;
int prime[20]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
ll n;
ll ans=1,num=1; //ans为最大数，num为最大数的约数个数
void dfs(int dep,ll now,ll cnt,int limit) // dep为第几个素数，now为当前数，cnt为当前约数个数，limit为最多搜索次数
{
    if(now>n)  return ;
    if(cnt>num){    //约数个数大于num
        ans=now;
        num=cnt;
    }
    if(cnt==num && now<ans)  //约数个数相等但当前数小于ans
        ans=now;
    if(dep>11)  return ;
    ll k=now;
    for(int i=1; i<=limit; i++){
        if(k*prime[dep]>n) break;
        k=k*prime[dep];
        dfs(dep+1,k,cnt*(i+1),i);
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    dfs(0,1,1,30);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}