重建道路(树上背包)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=160;
int n,a[maxn],fa[maxn],d[maxn]
,du[maxn],dp[maxn][maxn],m;
vector<int> g[maxn];
inline int read(){
 int num=0; char ch=getchar();
 while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
 while(ch>='0'&&ch<='9') num=num*10+ch-'0',ch=getchar();
 return num;
}
void dfs(int x,int y){
 fa[x]=y;
 for(int i=0;i<g[x].size();i++){
  if(g[x][i]==y) continue;
  dfs(g[x][i],x);
 }
}
void dp1(int x){
 dp[x][1]=du[x];
 for(int i=0;i<g[x].size();i++){
  if(g[x][i]==fa[x]) continue;
  dp1(g[x][i]);
  for(int j=m;j>=2;j--){
   for(int k=1;k<j;k++){
    dp[x][j]=min(dp[x][j],dp[x][k]+dp[g[x][i]][j-k]-2);
   }
  }
 }
}
int main(){
 int u,vv,ww;
 n=read(); m=read();
 for(int i=1;i<=n;i++){
  for(int j=1;j<=m;j++)
   dp[i][j]=1000;
 }
 for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][0]=0;
 for(int i=1;i<=n-1;i++){
  u=read(); vv=read();
  du[u]++; du[vv]++;
  g[u].push_back(vv); g[vv].push_back(u);
  fa[vv]=u;
 }
 //cout<<1<<endl;
 //dfs(1,0);
 //cout<<2<<endl;
 dp1(1);
 int ans=10000;
 for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,dp[i][m]);
 cout<<ans<<endl;
 return 0;
}
### 树上背包问题的动态规划解决方案 树上背包问题是基于树形结构的一种经典动态规划问题。它通常涉及一棵带权值的树以及容量有限的背包,目标是在满足约束条件的情况下最大化收益。 #### 1. **定义状态** 在树上背包问题中,可以通过定义 `dp[u][v]` 来表示以节点 `u` 为根的子树,在其对应的背包容量为 `v` 的情况下所能获得的最大价值[^1]。这里的 `u` 是当前处理的节点编号,而 `v` 则代表可用的背包容量。 #### 2. **列出状态转移方程** 对于每一个节点 `u` 和它的孩子节点 `child_u`,我们需要考虑如何将孩子的贡献加入到父节点的状态中去。假设当前正在遍历的孩子节点为 `w`,则可以写出如下状态转移方程: \[ dp[u][j] = \max(dp[u][j], dp[u][j-k] + dp[w][k]) \] 其中 \( j \) 表示当前剩余的背包容量,\( k \) 表示分配给子树 \( w \) 的容量大小。此过程通过枚举所有可能的 \( k \),找到使得总价值最大的组合[^2]。 #### 3. **初始化状态** 初始状态下,设所有的 `dp[u][0] = 0`,即当没有任何物品放入背包时,最大价值自然为零。其他情况下的初值可以根据具体题目设定,默认可设置为负无穷大或者不可达标记来确保不会被错误更新。 #### 4. **实现代码** 以下是 Python 中的一个简单实现框架用于求解树上背包问题: ```python from collections import defaultdict, deque def tree_knapsack(root, capacity, weights, values, children): n = len(weights) dp = [[-float('inf')] * (capacity + 1) for _ in range(n)] def dfs(u): nonlocal dp # 初始化叶节点的情况 dp[u][0] = 0 if u != root and not children[u]: for v in range(1, min(capacity, weights[u]) + 1): dp[u][v] = values[u] # 遍历子节点并进行状态转移 for child in children[u]: dfs(child) new_dp = [-float('inf')] * (capacity + 1) for c in range(capacity + 1): # 当前背包容量c for s in range(c + 1): # 子树占用的空间s if dp[child][s] >= -float('inf') and dp[u][c-s] >= -float('inf'): new_dp[c] = max(new_dp[c], dp[u][c-s] + dp[child][s]) dp[u] = new_dp dfs(root) return max(dp[root][c] for c in range(capacity + 1)) # Example usage: root = 0 weights = [0, 1, 2, 3] # weight of each node including the dummy root values = [0, 5, 8, 9] # value of each node including the dummy root children = {0:[1, 2], 1:[], 2:[3]} # Tree structure represented as adjacency list capacity = 4 # Total knapsack capacity result = tree_knapsack(root, capacity, weights, values, children) print(result) ``` 上述代码实现了基本的树状 DP 过程,并利用深度优先搜索(DFS)完成自底向上的状态传递。 #### §相关问题§ 1. 如何优化树上背包的时间复杂度? 2. 如果允许重复选取某些节点的价值,应该如何修改算法逻辑? 3. 对于加权边的树结构,能否扩展该模型适应更复杂的场景? 4. 是否可以用记忆化递归来代替显式的 DP 数组存储中间结果? 5. 在实际应用中,有哪些常见的变种形式可以从标准树上背包问题衍生出来?
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