具体数学复习篇——第四章数论01Stern-Brocot树和项链着色问题

Stern-Brocot树的构造规则

同时这也验证了m+m`和n+n`的线性组合等于1即这两个数互素

满足m和n互素的任意非负分式n/m在该树上出现一次且仅出现一次，此外不会有遗漏

证明如下

两个数的线性组合等于1，这就证明了两个数互素：证明了m和n互素

开始阶段是0/1和1/0即0到正无穷，而过程中又是只有分子+分子和分母+分母所以都应该是非负的：证明了非负分式

Stern-Brocot树的应用

给定一个LR的表示，找到对应的数（或给一个数，找到其LR的表示）

例如这里的5/7就是从1开始LRRL，即f（LRRL）=5/7

把两个祖先分数中的分子分母上下颠倒放置，这样开始的时候就是一个单位矩阵

如果进行的是左L则其左祖先不变，右祖先进行更新，如果进行的是右R则右祖先不变，左祖先进行更新

类似地向右一步

这样从1/1开始进行LRRL的操作则有

法里级数

项链着色（扇形着色问题）——圆排列