音频信号处理与信息论问题解析

1、假设采用十二平均律调音（TTET），计算两个相邻音符（键盘上的琴键）的频率变化百分比。

在十二平均律中，两个相邻音符频率比为 $ 2^{\frac{1}{12}} $，约为 1.05946 。
频率变化百分比约为 5.95% 。

2、为什么周期性信号的分音必须通过整数比相关联？

可以通过卷积定理证明，时域卷积（或滤波操作）等价于频域相乘，反之亦然。

对于时域中的周期信号，其傅里叶变换是基本波形的傅里叶变换乘以狄拉克梳状函数的傅里叶变换，结果是在离散频率处不为零的信号。

另外从驻波物理角度考虑，由于振动弦的边界条件或沿管道传播的声波压力水平是固定的，能存在的只有满足这些边界条件的驻波，基频是满足边界条件的最低周期，其他波必须是基频的倍数才能满足边界条件，所以周期性信号的分音必须通过整数比相关联。

3、(a) 对于一枚有偏硬币，正面朝上的概率为P(正面)=p，反面朝上的概率为P(反面)=1 - p，证明当硬币为均匀硬币时熵达到最大值。提示：将二元熵表示为p的函数并求其最大值。(b) 绘制H(p)关于p的函数图像，其中p的取值范围是从0到1。

(a) 二元变量的熵表达式为

$$ H(X) = -p\log_2 p - (1 - p)\log_2(1 - p) $$

对 $ H(p) $ 求导，令导数为0来找到极值点：

$$
\begin{align }
H’(p) &= -\log_2 p - p \times \left(\frac{1}{p \ln 2}\right) + \log_2(1 - p) + (1 - p) \times \left(\frac{1}{(1 - p)\ln 2}\right) \
&= -\log_2 p + \log_2(1 - p)
\end{align }
$$

令 $ H’(p) = 0 $，即：

$$
-\log_2 p + \log_2(1 - p) = 0
$$

可得：

$$
\log_2\left(\frac{1 - p}{p}\right) = 0
$$

因此：

$$
\frac{1 - p}{p} = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 - p = p \quad \Rightarrow \quad p = 0.5
$$

再对 $ H(p) $ 求二阶导数：

$$
H’‘(p) = -\frac{1}{p \ln 2} - \frac{1}{(1 - p)\ln 2}
$$

当 $ p = 0.5 $ 时，$ H’‘(p) < 0 $，所以当 $ p = 0.5 $（即硬币为均匀硬币）时，熵 $ H(p) $ 取得最大值。

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(b) 可使用绘图软件（如 Python 的 matplotlib 库、Matlab 等）来绘制函数：

$$
H(p) = -p\log_2 p - (1 - p)\log_2(1 - p)
$$

在 $ p \in [0, 1] $ 的区间内。
当 $ p = 0 $ 或 $ p = 1 $ 时，$ H(p) = 0 $；
当 $ p = 0.5 $ 时，$ H(p) $ 达到最大值 $ \log_2 2 = 1 $，图像呈倒U形。

4、CD 的采样率为 44100 Hz。从这个采样率可以重建的最大频率是多少？人类听觉的典型频率范围是多少？这个采样率合适吗？

根据奈奎斯特采样定理，可重建的最大频率为采样率的一半，即 22050 Hz 。
人类听觉的典型频率范围是 20 Hz - 20000 Hz 。
这个采样率是合适的，因为它能覆盖人类听觉的典型频率范围。

5、考虑模拟信号xa(t) = 3cos100πt。a. 为避免混叠，最小采样率是多少？b. 以Fs = 200 Hz的采样率采样后，会得到怎样的离散时间信号？c. 以Fs = 75 Hz的采样率采样后，会得到怎样的离散时间信号？这种欠采样违反了奈奎斯特准则，这意味着存在一个频率低于Fs/2的正弦信号，其采样值会相同。为证明这一点，考虑另一个频率为25 Hz的正弦模拟信号：xa2(t) = 3cos50πt。以75 Hz的采样率采样，会得到怎样的离散时间信号？利用恒等式cosθ = cos(2π - θ)，证明这些采样值实际上是相同的（换句话说，在75 Hz的采样率下，这些信号是彼此的混叠信号）。

a. 模拟信号 $ x_a(t) = 3\cos(100\pi t) $ 的最高频率 $ f_{\text{max}} = 50 \text{Hz} $，根据奈奎斯特采样定理 $ f_s > 2f_{\text{max}} $，所以最小采样率 $ f_s = 100 \text{Hz} $。

b. 采样率 $ F_s = 200 \text{Hz} $ 时，离散时间信号
$$
x(n) = x_a(nT_s) = 3\cos\left(\frac{100\pi n}{F_s}\right) = 3\cos\left(\frac{\pi n}{2}\right)
$$

c. 采样率 $ F_s = 75 \text{Hz} $ 时，离散时间信号
$$
x_1(n) = x_a(nT_s) = 3\cos\left(\frac{100\pi n}{F_s}\right) = 3\cos\left(\frac{4\pi n}{3}\right)
$$
对于 $ x_{a2}(t) = 3\cos(50\pi t) $，以 $ 75 \text{Hz} $ 采样，离散时间信号
$$
x_2(n) = x_{a2}(nT_s) = 3\cos\left(\frac{50\pi n}{F_s}\right) = 3\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right)
$$

根据 $ \cos\theta = \cos(2\pi - \theta) $，有
$$
\cos\left(\frac{4\pi n}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{2\pi n}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\