矩阵中迹的概念

最新推荐文章于 2025-09-09 13:45:32 发布
原创 最新推荐文章于 2025-09-09 13:45:32 发布 · 5.7k 阅读 · 0 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

矩阵的迹是其对角线元素之和，记为tr(A)，等于特征值之和。迹具有性质：迹的值等于所有特征值的和，且矩阵的行列式等于所有特征值的乘积。
部署运行你感兴趣的模型镜像
tr(A)=the trace of the matrix A  矩阵A的迹。
矩阵理论中是这样定义矩阵A的迹
设A=(aij)是一个n阶方阵，A的对角线元素之和称为A的迹，记为trA,即
trA=a11+a22+...+ann
它有两个重要的性质：
性质1：b1+b2+...+bn=trA
性质2：b1*b2*...*bn=detA
其中b1,b2,...,bn为矩阵A的特征值，detA表示A的行列式。

您可能感兴趣的与本文相关的镜像

ACE-Step

ACE-Step

音乐合成
ACE-Step

ACE-Step是由中国团队阶跃星辰（StepFun）与ACE Studio联手打造的开源音乐生成模型。 它拥有3.5B参数量，支持快速高质量生成、强可控性和易于拓展的特点。 最厉害的是，它可以生成多种语言的歌曲，包括但不限于中文、英文、日文等19种语言

【数学】【矩阵】迹（Trace）及相关性质
AbaloneVH的博客
10-19 2万+
本文给出了迹(trace)的性质及其与偏导的常见混合运算结果。
【机器学习】汇总详解：矩阵基本知识以及矩阵求导
蔚蓝的天空Tom
03-13 9632
1.矩阵的基本概念1.1矩阵的迹（matrix trace）存在方阵A=(aij)n×n，其主对角线上的所有元素的和，称为此方阵的迹，记作tr(A)tr(A)=a11+a22+……+anntr(A)=∑aii，i=1,....,n注：n阶方阵A，tr(A)也等于方阵A的所有特征值的和1.2矩阵的代数余子式（alebraic cofactor）    1.3伴随矩阵A*（adjoint matrix...
线性代数——补充8—矩阵的迹
Rhett_Butler0922的博客
06-24 734
矩阵的迹是一个标量（也就是一个数字），它等于一个方阵（行数和列数相同的矩阵）主对角线上所有元素的和。设AAA是一个n×nn \times nn×nAa11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯annA​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​​则矩阵AAA。
什么是矩阵的迹
大坡3D软件开发
03-02 4万+
在学习andrew ng的深度学习公开课里，可看到一段与数据的矩阵相关的，这里提出了求trace的算法以及规则，虽然学习过高数，线代，概率论，还有数理方程等等，但还是没有什么印象，一脸迷茫。这段相关的文本，我放到这里，如下：只能先百度一下：在线性代数中，一个n×n的对角矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。例子如下：对角元素是a
矩阵的迹
qq_31239371的博客
03-25 8579
概念 迹，是线性代数中的概念，矩阵的迹：主对角线（左上至右下的那一条）上所有元素之和。记作tr(A)，其中A为方阵。 性质 迹数拥有相似不变性。如果矩阵A和B相似的话，它们会有相同的迹。 与特征值的关系 若n阶方阵A的特征值为a1,a2,a3......an，则tr(A)=a1+a2+......+an。 A*（A的伴随阵）的迹为tr(A*)=|A|/a1+|A|/a2+........+|A|/an。(|A|为A的行列式，a1,a2,a3......an为A的特征值) 转自...
机器学习中的矩阵运算及迹运算规则.pdf
03-08
矩阵的迹是线性代数中的一个基本概念，它在机器学习中被广泛应用，尤其在概率模型、优化算法以及深度学习中扮演着重要角色。本篇教程通过作者Thomas P. Minka的深入讲解，为我们详细介绍了机器学习中矩阵运算以及迹...
人工智能： 矩阵的迹几何意义以及实战！！
AI Agent 首席体验官
02-17 1171
trAi1∑n​aii​在二维情况下，迹反映了变换对面积的局部变化率。Aa11​a21​​a12​a22​​其迹trAa11​a22​表示了单位面积在变换前后的瞬时变化率。
精选资源
关于四元数自共轭矩阵乘积迹和特征值的几个定理 (1997年)
05-24
定理中的不同情况考虑了矩阵的正定性，这表明矩阵的正定性对矩阵迹和特征值的估计有重要的影响。 在四元数数学研究中，通常会使用双随机矩阵等概念，这是指矩阵的每一行和每一列的元素和均为1的矩阵。双随机矩阵在...
求矩阵的迹的代码
07-28
迹是一个非常重要的概念，在线性代数、矩阵理论以及计算机科学中的许多领域都有广泛应用。 ### 一、理解矩阵的迹 矩阵的迹（Trace）是指方阵对角线上元素之和。例如，对于一个3×3的矩阵A： \[ A = \begin{bmatrix...
18、R语言中的中级线性代数：矩阵的迹、范数、特征值与特征向量
最新发布
web99的专栏
09-09 74
本文深入讲解R语言中的中级线性代数核心概念，涵盖矩阵的迹、多种向量与矩阵范数（L1、L2、无穷范数、Frobenius范数）以及特征值与特征向量的定义、性质和计算方法。通过R代码示例演示了迹的自定义函数实现、各类范数的计算与验证，并结合eigen()函数展示了特征对的求解流程。内容适用于数据科学、机器学习等领域的线性代数基础巩固与实践应用。
矩阵的迹（Trace）
mjiansun的专栏
07-30 2万+
的迹表示的是特征值的和，它不随基的变化而变化。通常，这种特性可以用来定义线性算子的轨迹。（注意迹是对方阵而言的）代数中，方阵A(n*n)的迹定义为对角线元素的和。其中A,B是方阵，c是常数。......
矩阵的迹（Tr）
热门推荐
Yancy的博客
12-06 6万+
迹运算返回的是矩阵对角元素的和: 若不使用求和符号，有些矩阵运算很难描述，而通过矩 阵乘法和迹运算符号可以清楚地表示。例如，迹运算提供了另一种描述矩阵Frobenius范数的方式: 用迹运算表示表达式，我们可以使用很多有用的等式巧妙地处理表达式。例如迹运算在转置运算下是不变的: 多个矩阵相乘得到的方阵的迹，和将这些矩阵中的最后一个挪到最前面之后相乘的迹是相同的。当然，我们需要考虑...
矩阵的迹介绍
欢迎来到道的世界
03-14 7482
1.矩阵迹的定义 矩阵迹是指矩阵对角线元素之和Tr(A)=∑iAi,i\mathrm{Tr}(\boldsymbol{A})=\sum_{i}\boldsymbol{A}_{i,i}Tr(A)=i∑​Ai,i​矩阵迹另一个种描述可以用矩阵的Frobenius范数的方式：∥A∥F=Tr(AA⊤)\|\boldsymbol{A}\|_F=\sqrt{\mathrm{Tr(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\top})}}∥A∥F​=Tr(AA⊤)​。 2.矩阵迹的性质 性质1：矩阵迹
如何理解矩阵的迹
03-15
<think>嗯，用户想了解矩阵的迹的概念及其意义，包括定义、性质和数学概念。首先，我需要从最基础的定义开始，确保用户能理解什么是矩阵的迹。根据引用[3]，矩阵的迹是特征多项式的一次项系数，与对角线元素和有关。所以，矩阵的迹就是所有主对角线元素的和，这个定义应该明确。 接下来是性质部分。矩阵的迹有几个重要性质，比如线性性，迹的交换性（即Tr(AB)=Tr(BA)），以及对相似变换的不变性。这些性质需要逐一解释清楚，最好用数学公式展示。例如，线性性可以用$Tr(aA + bB) = aTr(A) + bTr(B)$来表示，而交换性可能需要用例子说明，比如两个矩阵相乘后迹不变。 数学概念方面，矩阵的迹在特征值、特征多项式中的作用也很重要。根据引用[3]，特征多项式的系数与迹有关，这可能涉及到特征值的和等于迹这一点。需要解释特征值和迹的关系，以及在线性代数中的应用，比如二次型、矩阵的相似变换等。 用户可能还需要知道迹的实际应用场景，比如在物理学或工程学中的使用例子。例如，量子力学中的密度矩阵的迹表示概率，或者优化问题中的迹作为目标函数。这些实际应用能帮助用户理解迹的意义。 另外，要注意用户可能对数学符号不熟悉，所以需要用简单的中文解释每个术语，避免过于专业的术语。例如，解释相似变换时，可以用“矩阵形状变化但迹不变”这样的比喻。 还需要检查是否有遗漏的重要性质，比如迹与行列式的关系，或者迹在矩阵分解中的作用。如果有相关的引用资料，比如引用[4]提到的酉矩阵，可能需要提到迹在酉矩阵中的特殊性质，但如果不相关，可以暂时忽略。 最后，确保回答结构清晰，分点列出定义、性质、意义，每个部分都有例子或公式支持。同时，生成的三个相关问题要覆盖用户可能进一步探索的方向，比如应用、与其他概念的关系、计算方法等。</think>### 矩阵的迹：定义、性质与数学意义 #### 1. **定义** 矩阵的迹（Trace）是**主对角线元素之和**，记作$\text{Tr}(A)$。 对于$n \times n$矩阵$A = (a_{ij})$，其迹为： $$ \text{Tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} $$ 例如，矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$的迹为$1 + 4 = 5$。 #### 2. **核心性质** - **线性性**：$\text{Tr}(aA + bB) = a\text{Tr}(A) + b\text{Tr}(B)$，其中$a,b$为标量。 - **相似不变性**：若矩阵$B = P^{-1}AP$（$P$可逆），则$\text{Tr}(B) = \text{Tr}(A)$[^3]。 - **迹与特征值关系**：$\text{Tr}(A)$等于矩阵所有特征值（包括重根）之和。 - **矩阵乘积的迹**：$\text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA)$，即使$AB$和$BA$维度不同（当$A$为$m \times n$，$B$为$n \times m$时成立）。 #### 3. **数学意义** - **特征多项式关联**：矩阵的特征多项式为$\det(\lambda I - A) = \lambda^n - \text{Tr}(A)\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A)$，其中一次项系数为迹的负数。 - **二次型与优化**：迹常用于二次型的梯度计算，例如$\nabla_X \text{Tr}(X^TAX) = (A + A^T)X$。 - **物理与工程应用**：在量子力学中，密度矩阵的迹为1，表示概率守恒；在系统控制中，迹可用于稳定性分析。 #### 4. **与其他概念的联系** - **行列式**：行列式是特征值的乘积，而迹是特征值的和。 - **酉矩阵**：酉矩阵的迹满足$|\text{Tr}(U)| \leq n$（$n$为矩阵维度），反映了其保距性质[^4]。
评论
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
红包 添加红包
表情包 插入表情
表情包 代码片
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值