1. comsol 中的弱形式问题——一维稳态导热

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#算法

  • 弱形式推导的一般方法
  1. 写出问题的偏微分方程
  2. 乘以试函数并对方程进行积分
  3. 采用分部积分进行微分降级得到方程的弱形式
  • 一维稳态导热微分方程的弱形式

1.问题描述

如图所示，一根长度为 L=1m的金属棒，左端有恒定热量 q =10W/m2流入，右端保持恒定温度 TL=300K, 有电流流过金属，恒定产热量为 Q=20W/m3，热导率 k=2W/(m.K)为常数，求金属棒上的温度分布。

 2. 微分方程

傅里叶定律，也称热传导定律，描述热传导过程。其微分形式如下：

q=-k▽T

其中，q为局部热流密度，W/m2;  k为材料热导率，W/(m.K)

一维情况下为：

\mathrm{q=-k}\frac{dT}{dx}

将问题描述转化为数学语言，因存在内部热源 Q(W m^-3)，故控制方程为：

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物理问题的描述方式有三种： 1、 偏微分方程 2、 能量最小化形式 3、 弱形式 参考：http://www.jishulink.com/college/video/c12549 本文希望通过比较浅显的方式来讲解弱形式，使用户更有信心通过COMSOL Multiphysics的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题。COMSOL Multiphysics是唯一的直接使用弱形式来求解问题的软件，通过理解弱形式也能更进一步的理解有限元方法（FEM）以及了解COMSOL Multiphysics的实现方法。本文假定读者没有太多的时间去研究数学细节，但是却想将弱形式快速的应用到实际工程中去。另外，本文也会帮助理解COMSOL Multiphysics文档中常用的到一些术语和标注方法，相关理论可以参考Zienkiewicz[1]，Hughes[2]，以及Johnson [3]等。 为什么必须要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOL Multiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE方程和及其相关的弱形式。有时候可能问题是没有办法用COMSOL Multiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用经典PDE模版。但是，有时候可能经典PDE模版也不包括要求解的问题，这个时候就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。掌握弱形式可以使你的水平超过一般的COMSOL Multiphysics用户，让你更容易去理解模型库中利用弱形式做的算例。另一个原因就是弱形式有时候描述问题比PDE方程紧凑的多。还有，如果你是一个教授去教有限元分析方法，可以帮助学生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。最后，你对有限元方法了解的越多，对于COMSOL Multiphysics中的一些求解器的高级设置就懂得更多。 一个重要的事实是：在所有的应用模式和PDE模式求解的时候，COMSOL Multiphysics都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。 PDE问题常常具有最小能量问题的等效形式，这让人有一种直觉，那就是PDE方程都可以有相应的弱形式。实际上这些PDE方程和能量最小值问题只是同一个物理方程的两种不同表达形式罢了，同样，弱形式（几乎）是同一个物理方程的第三个等效形式。 这三种形式的区别虽然不大，但绝对是很关键的。我们必须记住，这三种形式只是求解同一个问题的三种不同形式――用数学方法求解真实世界的物理现象。根据不同的需求，这三种方式又有各自不同的优点。 PDE形式在各种书籍中比较常见，而且一般都提供了PDE方程的解法。能量法一般见于结构分析的文献中，采用弹性势能最小化形式求解问题是相当自然的一件事。当我们的研究范围超出了标准有限元应用领域，比如传热和结构，这个时候弱形式是不可避免的。化工中的传质问题和流体中的N-S方程都是没有办法用最小能量原理表述出来的。本文后面还有很多这样的例子。 PDE方程是带有偏微分算子的方程，而能量方程是以积分形式表达的。积分形式的好处就是特别适合于有限元方法，而且不用担心积分变量的不连续，这在偏微分方程中比较普遍。弱形式也是积分形式，拥有和积分形式同样的优点，但是他对积分变量的连续性要求更低，可以看作是能量最小化形式的更一般形式。最重要的是，弱形式非常适合求解非线性的多物理场问题，这就是COMSOL Multiphysics的重点了。 小结：为了理解PDE方程的弱形式，我们必须跳开常规的偏微分形式，对于积分形式要好好研究。由于最小于能原理对比弱形式来说好理解的多，所以我们将从线弹性开始学习，依次到热传导，电流传导等问题。这几种物理问题都有相关的能量和功率可以进行最小化。我们将只涉及到静态问题，重点是在结构分析和更特殊的线弹性分析。
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