九、回溯算法

最新推荐文章于 2025-12-16 14:17:05 发布

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#算法 #数据结构 #python #回溯算法

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代码随香炉：https://www.programmercarl.com/
labuladong算法：https://labuladong.github.io/algo/

回溯算法

**一般来说：
组合问题和排列问题是在树形结构的叶子节点上收集结果，而子集问题就是取树上所有节点的结果。
**

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递归终止条件
单层搜索的逻辑

0 回溯算法框架

解决for循环无法写出的场景，通过回溯可以暴力找出解决方法

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1 组合

组合问题（返回一个序列的组合）

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。
示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]

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减枝优化已经存了x个，剩下的通过总数k进行减去

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组合总和III

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组合总和（数组无重复元素，无限制选取）

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给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。（无k个数的限制）
candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
所有数字（包括 target）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

不用i+1，表示可以重读选择

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组合总和II （数组有重复元素，每个只能用一次）

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startindex用了i+1,表示只能选择一次

used数组进行去重
我们要去重的是同一树层上的“使用过”，同一树枝上的都是一个组合里的元素，不用去重。

强调一下，树层去重的话，需要对数组排序！

如果candidates[i] == candidates[i - 1] 并且 used[i - 1] == false，就说明：前一个树枝，使用了candidates[i - 1]，也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]。

在图中将used的变化用橘黄色标注上，可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：
used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过

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for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) // 剪枝（前提已经排序好）

电话号码的字母组合

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2 分割

终止条件的判断 1 分割线到达末尾，或者按照段数分割 2 注意break 和continue的使用，回文 IP合法的判断

分割回文串

给定一个字符串 s，将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。
返回 s 所有可能的分割方案。
示例: 输入: “aab” 输出: [ [“aa”,“b”], [“a”,“a”,“b”]

关键点：
切割问题，有不同的切割方式
判断回文

例如对于字符串abcdef：
组合问题：选取一个a之后，在bcdef中再去选取第二个，选取b之后在cdef中在选组第三个…。
切割问题：切割一个a之后，在bcdef中再去切割第二段，切割b之后在cdef中在切割第三段…。

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需要startIndex 切割过的地方不能重复切割
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复原IP

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判断子串是否合法：
主要考虑到如下三点：
段位以0为开头的数字不合法
段位里有非正整数字符不合法
段位如果大于255了不合法

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3. 子集

但是要清楚子集问题和组合问题、分割问题的的区别，子集是收集树形结构中树的所有节点的结果。
而组合问题、分割问题是收集树形结构中叶子节点的结果。

子集（数组元素不同）

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子集II （数组元素有相同的子集不重复）

去重（树枝去重和树层去重）
给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。
说明：解集不能包含重复的子集。
示例:
输入: [1,2,2]
输出: [ [2], [1], [1,2,2], [2,2], [1,2], []]

去重的话一定要先排序

从图中可以看出，同一树层上重复取2 就要过滤掉，同一树枝上就可以重复取2，因为同一树枝上元素的集合才是唯一子集！

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用集合去重

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本题也可以不使用used数组来去重，因为递归的时候下一个startIndex是i+1而不是0。

4 排列

全排列（数组不含重复数字）

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排列问题需要一个used数组，标记已经选择的元素，如图橘黄色部分所示:

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全排列2 （数组含重复数字）

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startindex不用定义，直接从0开始遍历到整个数组大小，使用used数组进行树枝去用过的元素。
去重过程中，树层去重和树枝去重都是可以的。树层去重更加高效一些。

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回溯的时间复杂度

5 棋盘问题

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n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。
一个for循环遍历列递归遍历深度的行

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解数独二维递归两个for循环

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6 深搜

递增子序列

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set去重
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重新安排行程！！

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7 岛屿题目

一文秒杀所有岛屿题目

7.1 岛屿数量

二维矩阵四周可以认为也是被海水包围的，所以靠边的陆地也算作岛屿。

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class Solution {
public:
    int res = 0;
    int numIslands(vector<vector<char>>& grid) {
        int row = grid.size();
        int col = grid[0].size();
         // 遍历 grid
  
      for(int i =0;i<row;i++){
            for(int j =0;j<col;j++){
                if(grid[i][j]=='1'){
                    res++;// 每发现一个岛屿，岛屿数量加一
                    dfs(grid,i,j); // 然后使用 DFS 将岛屿淹了
                }
            }
        }
        return res;
    }
    
    // 从 (i, j) 开始，将与之相邻的陆地都变成海水
    void dfs(vector<vector<char>>& grid,int i,int j){
        int row = grid.size();
        int col = grid[0].size();
        if(i<0||i>=row||j<0||j>=col){
            return;
        }
        if(grid[i][j]=='0'){
            return;
        }
        grid[i][j]='0';// 将 (i, j) 变成海水
        // 淹没上下左右的陆地
        dfs(grid,i-1,j);
        dfs(grid,i+1,j);
        dfs(grid,i,j-1);
        dfs(grid,i,j+1);
    }
};

7.2 封闭岛屿的数量

靠边的陆地不算作「封闭岛屿」。

class Solution {
public:
    int closedIsland(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            // 把靠上边的岛屿淹掉
            dfs(grid, 0, j);
            // 把靠下边的岛屿淹掉
            dfs(grid, m - 1, j);
        }
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            // 把靠左边的岛屿淹掉
            dfs(grid, i, 0);
            // 把靠右边的岛屿淹掉
            dfs(grid, i, n - 1);
        }
        // 遍历 grid，剩下的岛屿都是封闭岛屿
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (grid[i][j] == 0) {
                    res++;
                    dfs(grid, i, j);
                }
            }
        }
        return res;
    }

    // 从 (i, j) 开始，将与之相邻的陆地都变成海水
    void dfs(vector<vector<int>>& grid, int i, int j) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        if (i < 0 || j < 0 || i >= m || j >= n) {
            return;
        }
        if (grid[i][j] == 1) {
            // 已经是海水了
            return;
        }
        // 将 (i, j) 变成海水
        grid[i][j] = 1;
        // 淹没上下左右的陆地
        dfs(grid, i + 1, j);
        dfs(grid, i, j + 1);
        dfs(grid, i - 1, j);
        dfs(grid, i, j - 1);
    }
};

7.3 最大的岛屿面积。

可以假设 grid 的四个边缘都被 0（代表水）包围着。

class Solution {
public:
    int maxAreaOfIsland(vector<vector<int>>& grid) {
        // 记录岛屿的最大面积
        int res = 0;
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (grid[i][j] == 1) {
                    // 淹没岛屿，并更新最大岛屿面积
                    res = max(res, dfs(grid, i, j));
                }
            }
        }
        return res;
    }

    // 淹没与 (i, j) 相邻的陆地，并返回淹没的陆地面积
    int dfs(vector<vector<int>>& grid, int i, int j) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        if (i < 0 || j < 0 || i >= m || j >= n) {
            // 超出索引边界
            return 0;
        }
        if (grid[i][j] == 0) {
            // 已经是海水了
            return 0;
        }
        // 将 (i, j) 变成海水
        grid[i][j] = 0;

        return dfs(grid, i + 1, j)
                + dfs(grid, i, j + 1)
                + dfs(grid, i - 1, j)
                + dfs(grid, i, j - 1) + 1;
    }
};

7.4 统计子岛屿

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    int countSubIslands(vector<vector<int>>& grid1, vector<vector<int>>& grid2) {
        int m = grid1.size(), n = grid1[0].size();
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (grid1[i][j] == 0 && grid2[i][j] == 1) {
                    // 这个岛屿肯定不是子岛，淹掉
                    dfs(grid2, i, j);
                }
            }
        }
        // 现在 grid2 中剩下的岛屿都是子岛，计算岛屿数量
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (grid2[i][j] == 1) {
                    res++;
                    dfs(grid2, i, j);
                }
            }
        }
        return res;
    }

    // 淹没与 (i, j) 相邻的陆地，并返回淹没的陆地面积
    void dfs(vector<vector<int>>& grid, int i, int j) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        if (i < 0 || j < 0 || i >= m || j >= n) {
            // 超出索引边界
            return;
        }
        if (grid[i][j] == 0) {
            // 已经是海水了
            return;
        }
        // 将 (i, j) 变成海水
        grid[i][j] = 0;
        // 淹没上下左右的陆地
        dfs(grid, i + 1, j);
        dfs(grid, i, j + 1);
        dfs(grid, i - 1, j);
        dfs(grid, i, j - 1);
    }
};

7.5 不同的岛屿数量

在这里插入图片描述
岛屿序列化的结果，只要每次使用 dfs 遍历岛屿的时候生成这串数字进行比较，就可以计算到底有多少个不同的岛屿了


 // 稍微改造 dfs 函数，添加一些函数参数以便记录遍历顺序
void dfs(int[][] grid, int i, int j, string sb, int dir) {
    int m = grid.length, n = grid[0].length;
    if (i < 0 || j < 0 || i >= m || j >= n || grid[i][j] == 0) {
        return;
    }
    // 前序遍历位置：进入 (i, j)
    grid[i][j] = 0;
    sb.append(dir).append(',');
    
    dfs(grid, i - 1, j, sb, 1); // 上
    dfs(grid, i + 1, j, sb, 2); // 下
    dfs(grid, i, j - 1, sb, 3); // 左
    dfs(grid, i, j + 1, sb, 4); // 右
    
    // 后序遍历位置：离开 (i, j)
    sb.append(-dir).append(',');
}

 // dir 记录方向，dfs 函数递归结束后，sb 记录着整个遍历顺序。有了这个 dfs 函数就好办了，我们可以直接写出最后的解法代码：

int numDistinctIslands(int[][] grid) {
int numDistinctIslands(int[][] grid) {
    int m = grid.length, n = grid[0].length;
    // 记录所有岛屿的序列化结果
    set<string> st;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (grid[i][j] == 1) {
                // 淹掉这个岛屿，同时存储岛屿的序列化结果
                string sb;
                // 初始的方向可以随便写，不影响正确性
                dfs(grid, i, j, sb, 666);
                st.insert(sb);
            }
        }
    }
    // 不相同的岛屿数量
    return st.size();
}

8 括号生成

数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且有效的括号组合。

输入：n = 3
输出：[“((()))”,“(()())”,“(())()”,“()(())”,“()()()”]

class Solution {
public:
    vector<string> generateParenthesis(int n) {
        if (n == 0) return {};
        // 记录所有合法的括号组合
        vector<string> res;
        // 回溯过程中的路径
        string track;
        // 可用的左括号和右括号数量初始化为 n
        backtrack(n, n, track, res);
        return res;
    }

    // 可用的左括号数量为 left 个，可用的右括号数量为 rgiht 个
    void backtrack(int left, int right, 
                string& track, vector<string>& res) {
        // 若左括号剩下的多，说明不合法
        if (right < left) return;
        // 数量小于 0 肯定是不合法的
        if (left < 0 || right < 0) return;
        // 当所有括号都恰好用完时，得到一个合法的括号组合
        if (left == 0 && right == 0) {
            res.push_back(track);
            return;
        }
        
        // 尝试放一个左括号
        track.push_back('('); // 选择
        backtrack(left - 1, right, track, res);
        track.pop_back(); // 撤消选择

        // 尝试放一个右括号
        track.push_back(')'); // 选择
        backtrack(left, right - 1, track, res);
        track.pop_back(); // 撤消选择
    }
};