Q - Tour[KM算法+拆点]

Q - Tour

题意大概是：一个王国有N个城市，M条路，都是有向路。现在要求去旅游，不过走的路只能是环（至少也需要有两个城市），即从某个城市开始，从某个城市结束。他们保证这些城市之间的路径都是有环构成的，求至少需要走多少路。

脑洞：乍一看，以为是最短路或者是欧拉路之类的问题。但后来才发现，二分图的一个性质就是每个匹配点的入度和出度都为1（这肯定是匹配之后的）。我们把每一个点拆成两部分，一部分是入读一部分是出度，我们把出度的那些点放入X集合中，把入度的那些点放入Y集合中。
而题意已经说明了所有的点都会被走到，那么说明这道题一定是一个最佳匹配。
然后这里使用的是$O(n^3)$的写法，多了一个slack数组。
然后这道题我们刚开始要把所有的权值都变为负值，最后在转换回来。这样做的原因是，我们的KM算法求出的答案是权值和的最大值。而这道题要求的是最小值。那么我们先把权值都变为负值，求出他权值和的最大值，当我们把他反过来的时候，那便是我们要求的答案，也就是权值和的最小值。
其余的一些解释请看代码的注释。

int w[len][len];
int vis_x[len], vis_y[len], wx[len], wy[len];//x,y的标记数组以及权值数组
int l[len], slack[len];
int N, M, T;
int a, b, c;

void Init(){
//没得到一组数据，我们刚开始要把数据都读进图和x的数组。所以这两个数组我们赋成负的无穷大。
    memset(w, -INF, sizeof(w));
    memset(wx, -INF, sizeof(wx));
    memset(wy, 0, sizeof(wy));
    memset(vis_x, 0, sizeof(vis_x));
    memset(vis_y, 0, sizeof(vis_y));
    memset(l, 0, sizeof(l));
}

int main(){
    cin >> T;
    while (T--){
        Init();
        cin >> N >> M;
        for (int i=0; i<M; i++){
            cin >> a >> b >> c;
            w[a][b] = max(w[a][b], -c);
            wx[a] = max(wx[a], w[a][b]);
        }

        int ans = KM();

        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

int KM(){
    for (int i=1; i<=N; i++){
        memset(slack, INF, sizeof(slack));//slack数组表示的是每一个x y需要松弛的度数。

        while(true){
            memset(vis_x, 0, sizeof(vis_x));
            memset(vis_y, 0, sizeof(vis_y));

            if (find(i)) break;
            //先找点，匹配上的话，我们让下一个点去匹配。
			//如果匹配不上，我们开始对这个点进行松弛处理。
			//slack数组里面存的数据，是让x的权值降到使最近的那个点符合相加等于边长，而这条边不是最长边
            int d = INF;

            for (int j=1; j<=N; j++){
                if (!vis_y[j] && d > slack[j])
                    d = slack[j];
            }//找最小的slack

            for (int j=1; j<=N; j++){
                if (vis_x[j]) wx[j] = wx[j] - d;
                if (vis_y[j]) wy[j] = wy[j] + d;
            }

        }
    }

    int sum = 0;

    for (int i=1; i<=N; i++)
        sum = sum + wx[i] + wy[i];

    return -sum;
}

bool find (int p){
    vis_x[p] ++;
    for (int i=1; i<=N; i++){
        if (!vis_y[i] && wx[p]+wy[i] == w[p][i]){
            vis_y[i] ++;
            if (!l[i] || find(l[i])){
                l[i] = p;
                return true;
            }
        }else if (!vis_y[i]) slack[i] = min(slack[i], wx[p]+wy[i]-w[p][i]);
    }

    return false;
}

KM算法详解+模板
最近又找到一个厉害的博主的厉害的博客。