洛谷 P2051 [AHOI2009]中国象棋

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本文深入探讨了中国象棋中不同策略的算法实现，包括30分暴力搜索、50分状态压缩以及100分动态规划算法。通过详细的代码示例，展示了如何在不同难度级别下求解棋盘布局的方案数量。

题目：中国象棋

思路：
首先是30分暴力——
直接dfs就好。
用row[]和col[]存储状态。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define maxn 100
#define read(x) scanf("%d",&x)
#define md 9999973

int n,m;
int rw[maxn+5],col[maxn+5];

int dfs(int x,int y) {
	if(y>m) y=1,x++;
	if(x>n) return 1;
	int ans=0;
	if(rw[x]<2&&col[y]<2) {
		rw[x]++,col[y]++;
		ans=(ans+dfs(x,y+1))%md;
		rw[x]--,col[y]--;
	}
	ans=(ans+dfs(x,y+1))%md;
	return ans;
}

int main() {
	read(n),read(m);
	
	int ans=dfs(1,1);
	printf("%d",ans);
	
	return 0;
}

50分暴力——
状压，把每个位置上的棋子数三进制状压一下，作为dp的第二维状态，然后我们的dfs就可以记忆化了。

100分算法——
f[i][j][k]表示前i行，放了1个棋子的有j列，放了2个棋子的有k列的方案数。
转移——

在原来没有棋子的列上放一个棋子：
f[i][j][k]=f[i][j][k]+f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1)
在原来有一个棋子的列上放一个棋子：
f[i][j][k]=f[i][j][k]+f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)
在原来两条没有棋子的列上各放一个棋子：
f[i][j][k]=f[i][j][k]+f[i-1][j-2][k]*(m-k-j+2)*(m-k-j+1)/2
在原来一条没有棋子的列上和一条有棋子的列上各放一个棋子：
f[i][j][k]=f[i][j][k]+f[i-1][j][k-1]*(m-k-j+1)*j
在原来两条有一个棋子的列上各放一个棋子：
f[i][j][k]=f[i][j][k]+f[i-1][j+2][k-2]*(j+2)*(j+1)/2

初始化——
f[0][0][0]=1
f[i][j][k]=f[i-1][j][k]
以及不能忘记每一行只能有两个棋子——
if(i==1&&k>0) continue;
if(j+k2>im) continue;

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define maxn 100
#define read(x) scanf("%d",&x)
#define md 9999973
#define ll long long

int n,m;
ll f[maxn+5][maxn+5][maxn+5];

ll dp() {
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=0; j<=m; j++)
			for(int k=0; k+j<=m; k++) {
				if(i==1&&k>0) continue;
				if(j+k*2>i*m) continue;
				f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
				if(j!=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1))%md;
				if(k!=0&&j+1<=m) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j+1][k-1]*(j+1))%md;
				if(j>1) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+(f[i-1][j-2][k]*(m-k-j+2))*(m-k-j+1)/2)%md;
				if(k!=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+(f[i-1][j][k-1]*(m-k-j+1))*j)%md;
				if(k>1&&j+2<=m) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+(f[i-1][j+2][k-2]*(j+2))*(j+1)/2)%md;
			}
	
	ll ans=0;
	for(int j=0; j<=m; j++) {
		for(int k=0; k+j<=m; k++) {
			ans=(ans+f[n][j][k])%md;
		}
	}
	return ans;
}

int main() {
	read(n),read(m);

	int ans=dp();
	printf("%d",ans);

	return 0;
}

重点——
写了个打表的代码，本机可过，luogu可能卡掉了它，仅供参考，切勿抄袭——

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define maxn 100
#define read(x) scanf("%d",&x)
#define md 9999973
#define ll long long

int n,m;
ll f[maxn+5][maxn+5][maxn+5];

ll dp() {
	memset(f,0,sizeof(f));
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=0; j<=m; j++)
			for(int k=0; k+j<=m; k++) {
				if(i==1&&k>0) continue;
				if(j+k*2>i*m) continue;
				f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
				if(j!=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1))%md;
				if(k!=0&&j+1<=m) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j+1][k-1]*(j+1))%md;
				if(j>1) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+(f[i-1][j-2][k]*(m-k-j+2))*(m-k-j+1)/2)%md;
				if(k!=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+(f[i-1][j][k-1]*(m-k-j+1))*j)%md;
				if(k>1&&j+2<=m) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+(f[i-1][j+2][k-2]*(j+2))*(j+1)/2)%md;
			}
	
	ll ans=0;
	for(int j=0; j<=m; j++) {
		for(int k=0; k+j<=m; k++) {
			ans=(ans+f[n][j][k])%md;
		}
	}
	return ans;
}

int main() {
	freopen("P2051.cpp","w",stdout);
	printf("#include<bits/stdc++.h>\nusing namespace std;\n\nint n,m;\n\n");
	printf("int a[15][15]={{0},");
	for(n=1; n<=100; n++) {
		printf("{0,");
		for(m=1; m<=n; m++) {
			int ans=dp();
			printf("%d",ans);
			if(m!=n) printf(",");
		}
		printf("}");
		if(n!=100) printf(",");
		else printf("};\n\n");
	}
	printf("int main(){\n    scanf(%c%%d%%d%c,&n,&m);\n    printf(%c%%d%c,max(a[n][m],a[m][n]));\n    return 0;\n}",'"','"','"','"');

	return 0;
}