P2051 [AHOI2009]中国象棋(dp+分类讨论)

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本文深入解析洛谷P2051题目，通过动态规划算法解决棋子放置问题。详细阐述了三种情况下的状态转移方程，包括放0个、1个和2个棋子的情况，并提供了完整的C++代码实现。

https://www.luogu.org/problem/P2051

总共分为3种情况：

1.放0个棋子： $dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k]$ 直接转移

2.放1个棋子： $dp[i][j][k]=dp[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1)$ 将一颗棋子放在已含有0个棋子的列中

$dp[i][j][k]=dp[i-1][j+1][k-1]*(j+1)$ 将一颗棋子放在已含有1个棋子的列中

3.放2个棋子： $dp[i][j][k]=dp[i-1][j+2][k-2]$ 将两颗棋子放在已含有1个棋子的列中

$dp[i][j][k]=dp[i-1][j-2][k]$ 将两颗棋子放在已含有0个棋子的列中

$dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k-1]$ 将两颗棋子放在各含有0个棋子和1个棋子的列中

转移的过程中要注意边界的判定

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 9999973
ll dp[105][105][105];

ll cal(ll n){
	n=(n*(n-1)/2)%mod;
	return n;
}
ll max(ll a,ll b){
	return a>b?a:b;
}

int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	
	dp[0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=m;j++){
			for(int k=0;k<=m;k++){
				if((m-j-k)<0)break;
				dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k];
				if(j>=1)dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-1][k]*(m-j+1-k);
				if(k>=1)dp[i][j][k]+=dp[i-1][j+1][k-1]*(j+1);
				if(k>=2)dp[i][j][k]+=dp[i-1][j+2][k-2]*cal(j+2);
				if(j>=2)dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-2][k]*cal(m-j-k+2);
				if(k>=1)dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k-1]*(m-j-k+1)*j;
				dp[i][j][k]%=mod;
			}
		}
	}
	
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=m;i++){
		for(int j=0;j<=m;j++){
			ans+=dp[n][i][j];
			ans%=mod;
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}