最大子矩阵

题目：最大子矩阵

思路：

前缀和+扫描线（或者是dp？听说是dp？），复杂度O(n^3)。

枚举最大子矩阵的上下边界，然后把每一列的和加起来成为一个序列，注意这里要用前缀和优化。

嗯然后对于这个子序列再求前缀和，然后扫描线扫一遍，每次用自己减去前面的最小值更新最大的答案。

当然这个题目的数据朴素算法O(n^4)可过的。

一维问题：Subsequence

代码：

O(n^3)算法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define maxn 100

int n;
int a[maxn+5][maxn+5];
int sum[maxn+5][maxn+5]={0};
int b[maxn+5]={0};

int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
			sum[i][j]=sum[i-1][j]+a[i][j];
		}
	}
	
	int ans=-(1<<30);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			for(int k=1;k<=n;k++){
				b[k]=sum[i][k]-sum[j-1][k]+b[k-1];
			}
			int w=0;
			for(int k=1;k<=n;k++){
				ans=max(ans,b[k]-b[w]);
				if(b[k]<b[w]) w=k;
			}
		}
	}
	
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

O(n^4)算法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define maxn 100

int n;
int a[maxn+5][maxn+5];
int sum[maxn+5][maxn+5]={0};

int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
			sum[i][j]=a[i][j]+sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
		}
	}
	
	int ans=-(1<<30);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=i;k<=n;k++){
				for(int u=j;u<=n;u++){
					ans=max(ans,sum[k][u]-sum[i-1][u]-sum[k][j-1]+sum[i-1][j-1]);
				}
			}
		}
	}
	
	printf("%d",ans);
	
	return 0;
}