25、产品形式模型的数值算法及状态相关速率的半产品形式求解

产品形式模型的数值算法及状态相关速率的半产品形式求解

在随机网络的性能建模领域，产品形式解一直是研究的重点。产品形式解能将整个系统的稳态分布通过各组件的边缘分布相乘得到，有效应对状态空间爆炸问题。本文将介绍两种相关的研究成果，一是INAP+数值迭代算法用于求解产品形式模型，二是通过反向过程求解具有状态相关速率的排队模型的半产品形式解。

INAP+算法：求解产品形式模型

INAP+算法是一种数值迭代算法，它利用了反向复合代理定理（RCAT）的理论结果，用于判断一组协作模型是否具有产品形式解，并在有解的情况下进行计算。

算法的形式定义

INAP+算法的输入包括代理 $S_1, \ldots, S_N$ 及其截断算子 $R_{\tau_i}$、精度 $\varepsilon$ 和 $\tau$ 以及最大迭代次数 $T$，输出是联合模型 $\triangleright!\triangleleft_{k = 1}^{N} L S_k$ 的未归一化稳态分布 $\pi$。以下是简化算法的步骤：
1. 为所有 $k = 1, \ldots, N$ 设置 $S_i$ 的初始大小。
2. 令 $f \leftarrow 0$，并为所有 $k = 1, \ldots, N$ 随机初始化 $\pi^{(f)} k$。
3. 重复以下步骤：
- $f \leftarrow f + 1$
- 对于 $k = 1, \ldots, N$，对每个 $a \in A_k$，使用方程 (3) 计算 $K^{(f)}_a$。
- 对于 $k = 1, \ldots, N$，$S_R^k \leftarrow R