24、产品形式模型求解的数值算法

产品形式模型求解的数值算法

在随机模型分析领域，产品形式模型的求解一直是一个重要的研究方向。传统的数值算法在处理具有无限状态空间的模型时存在一定的局限性，本文将介绍一种改进的算法，以解决这些问题。

1. 传统算法与动机

• INAP算法条件 ：数值算法INAP（Numerical Algorithm for Product - forms）的应用需要满足两个条件。一是模型间的同步必须是成对的，即一个子模型状态的改变最多只会引起另一个子模型状态的改变；二是子模型的状态空间必须是有限的，对于底层连续时间马尔可夫链（CTMC）为生死过程的子模型，作者给出了相应的研究方法。
• 动机 ：通常在数值处理具有无限状态空间的随机过程时，会采用截断技术，即从状态空间中剔除那些稳态概率极小（实际中小于一个正的小常数τ）的元素。但这种技术对于孤立模型较易应用，对于一组同步模型则可能较难。例如，对于M/M/1队列的截断问题，若已知到达率和服务率，问题容易解决；但当它嵌入到排队网络中时，到达率未知，就很难得出状态概率的上界。

2. 改进算法INAP+的提出

• 贡献 ：本文引入了INAP的改进版本INAP+，它能够在迭代过程中适时截断子模型的状态空间。该算法允许建模者指定相互作用的子模型，以及在所有参数已知的情况下如何截断它们的状态空间。在每次迭代中，INAP+会重新计算子模型状态空间的大小。为实现这一点，我们发现INAP中对子模型参数化的估计方法不可用，因此引入了一种新方法。同时，该算法能有效计算非齐次模型的解，