13、连续时间与连续分布模型分析

连续时间与连续分布模型分析

1. 问题提出与飞机示例

在建模领域，存在两种独立发展的模型，人们不禁会问，它们是否用于不同目的，是否需要统一框架，以及能否在两者间进行有效转换。为解答这些问题，我们以飞机飞行这一简单过程为例进行研究。

飞机初始在地面，启动后上升，上升速率在每单位时间 20 至 25 米之间，直至达到最大高度。飞行中，飞行员可左右旋转飞机，旋转时飞机受摩擦力可能按概率规律损失高度。若旋转后高度为零，或在低于最小高度 $H_{min}$ 时旋转，飞机坠毁。该系统具有连续状态空间（高度为实值）和连续时间特性（高度随时间变化），且仅允许“旋转”这一动作。

为精确建模，我们选择概率函数。飞机旋转后更可能跳至接近原高度处，例如从高度 $s$ 下降约 20 米的概率大于下降 50 米的概率。设高度可能值集合为 $R := [0, H_{max}] \cup {Crashed}$，用 $p(s, [a, b])$ 表示从高度 $s$ 旋转后高度落在 $[a, b]$ 的概率。我们选择关于 $s - x$ 的指数分布（$s$ 为旋转时飞机高度），确保接近 $s$ 的高度区间概率更大。概率函数 $p$ 定义如下（$s$ 为高度单位）：
- 若 $0 \leq s < H_{min}$，$p(s, {Crashed}) := 1$
- 若 $H_{min} \leq s \leq H_{max}$，$p(s, \cdot)$ 是以下集合函数的唯一概率测度扩展（$a \leq s < b$ 情况可推导）：
- 若 $0 < a \leq b \leq s$，$p(s, [a, b]) := \int_{a}^{b} e^{-(s - x)}d