14、递归与进程理论：原理、模型与应用解析

递归与进程理论：原理、模型与应用解析

1. 递归规范问题探讨

首先来看一些递归规范的示例，考虑以下递归规范：
- 规范 (a)：$E = {X_n = X_{n + 1} + a^nY | n \in N} \cup {Y = 1}$
- 规范 (b)：$F = {X_n = X_{n + 1} + a^nY | n \in N} \cup {Y = a.Y}$

这些递归规范在 $BSP_{rec}(A)$ 的标准项模型中定义了进程 $\mu X_0.E$ 和 $\mu X_0.F$。现在的问题是，这些进程在理论 $BSP(A)$ 上是否是有限可定义的呢？若能给出一个受保护的有限递归规范，就能表明该进程是可定义的；若不能，则需给出一个（非正式的）论证来说明不存在这样的规范。

2. 正则进程的概念与性质

2.1 正则进程的定义

正则进程是可计算转换系统在双模拟等价下的等价类，其中至少包含一个正则转换系统作为代表。这个定义允许非正则转换系统作为正则进程的代表，这与之前对可数和有限分支进程的定义是一致的。因为任何这样的非正则转换系统都与一个正则系统是双模拟的，所以相应的进程具有有限个状态和转换，这就是正则性的本质。

2.2 正则进程与有限可定义性的关系

定理表明，一个可计算进程是正则的，当且仅当它在 $BSP(A)$ 上是有限可定义的。下面来详细证明这个定理：
- 从左到右的蕴含关系 ：一个正则进程有一个正则转换系统 $s$ 作为代表。将 $s$ 的状态枚举为 $s_i$，索引 $i = 0, 1, \cdots, n - 1$