5、等式理论、项重写系统与过渡系统的深入解析

等式理论、项重写系统与过渡系统的深入解析

1. 等式理论相关练习

在等式理论的研究领域，有一系列具有挑战性的练习可以帮助我们加深对概念的理解。以下是一些典型的练习及相关概念介绍。

1.1 代数模型验证练习

• 验证代数是否为理论的模型 ：例如要证明代数 B1 是理论 T1 的模型，这需要我们依据理论 T1 的公理和代数 B1 的结构性质，检查 B1 是否满足 T1 中的所有等式关系。
• 等式验证 ：对于代数 B1，要验证 s(m(x, y)) = a(a(s(x), s(y)), m(s(x), s(y))) 这个等式是否成立。同时，还需探究该等式在代数 N 中是否也成立，这有助于我们对比不同代数结构下等式的适用性。
• 扩展代数模型验证 ：考虑扩展了指数函数 exp 的自然数代数 (N, +, ×, exp, succ, 0)，证明它是理论 T2 的模型。这要求我们熟悉理论 T2 的规则以及扩展代数的运算性质。
• 初始代数等式验证 ：针对等式理论 T1 = (Σ1, E1) 及其初始代数 I(Σ1, E1)，证明 I(Σ1, E1) 满足 a(x, y) = a(y, x)。提示使用性质 (2.2.5) 和命题 2.2.17（保守扩展），这引导我们运用已有的理论工具进行推理。
• 非验证模型构造 ：对于等式理论 T1，构造一个不验证等式 a(x, y) = a(y, x) 的模型。可以考虑一个由