21、线性近似的示例引导合成

线性近似的示例引导合成

1 线性近似问题求解

在处理线性近似问题时，对于任意区间 $I_{i,j}$，存在最小下界 $l_{i,j}$ 和最大上界 $u_{i,j}$。该问题可借助区间分析的通用框架和分支剪枝算法来解决。

1.1 区间分析与优化

设 $\Delta_{search} = {(l, u, x)|l, u, x \in [l_{i,j}, u_{i,j}]}$ 为我们要界定 $\Delta$ 的定义域。我们可以运用区间分析在 $\Delta_{search}$ 上对 $\Delta$ 进行界定。并且，可通过以下两种方式改进界定：
- 分支 ：将 $\Delta_{search}$ 进行划分，并分别在每个子集上对 $\Delta$ 进行界定。
- 剪枝 ：从 $\Delta_{search}$ 中移除违反约束条件 $l < u \land l \leq x \land x \leq u$ 的值。

我们使用工具 IbexOpt 来实现上述算法并解决优化问题。

1.2 避免除零错误

在两点模板中，$Gau(l, u) = \frac{\sigma(u) - \sigma(l)}{u - l}$。尽管有约束条件 $l < u$，但从区间分析的角度看，当 $u - l$ 趋近于 0 时，$Gau(l, u)$ 趋近于无穷大。若将此问题交给 IbexOpt，它会报告 $\Delta$ 是无界的。为解决这一问题，我们将 $l < u$ 改为 $0.01 < u - l$，以确保最小区间宽度为 0.01。