8、概率程序终止分析的健全且完备证书

概率程序终止分析的健全且完备证书

1. 引言

在概率程序的分析中，确定程序终止的概率是一个重要的问题。我们的目标是寻找最小的 $p$ 值，使得 $1 - p$ 可以被验证为程序终止概率的下界。本文将介绍一种方法，用于证明概率程序以至少给定的概率阈值终止。

2. 方法概述

2.1 运行示例

考虑一个一维离散时间随机游走的概率程序，该程序从 $x = 0$ 开始，一旦达到 $x < 0$ 的点就终止。在每个时间步，$x$ 会根据均匀分布 $Uniform([-1, 0.5])$ 采样一个随机值进行递增。如果随机过程处于 $x \geq 100$ 的点，$x$ 的值也可能会根据独立采样自 $Uniform([-1, 2])$ 的随机值进行递增，这种选择是非确定性的。通过标准的随机游走论证，该程序不会几乎确定地终止。

2.2 方法步骤

为了证明这个程序以至少 $1 - p = 0.99$ 的概率终止，我们的方法计算以下两个对象：
1. 随机不变量 ：随机不变量是一个元组 $(SI, p)$，其中 $SI$ 是一组程序状态，随机程序运行离开该状态集的概率至多为 $p$。
2. 随机不变量的终止证明 ：计算一个排序上鞅（RSM），以证明程序以概率 1 要么终止，要么离开集合 $SI$。由于离开 $SI$ 的概率至多为 $p$，所以程序必须以至少 $1 - p$ 的概率终止。

2.3 合成随机不变量

为了找到随机不变量，我们的方法计算一个状态函数 $f$，它为每个可达的程序状态分