5、概率程序的数据驱动不变式学习

概率程序的数据驱动不变式学习

1. 引言

概率程序是在标准命令式程序基础上增加了采样命令，是表达随机计算的常见方式。虽然这类程序的数学语义已被较好理解，但验证方法仍是活跃的研究领域。现有的自动化技术要么局限于特定属性，要么针对更简单的计算模型。

1.1 基于期望的推理

早期推理概率程序的方法之一是通过期望。期望由 Kozen 提出，将标准的二元断言推广到程序状态上的定量实值函数。Morgan 和 McIver 进一步将其发展为最弱前置期望演算框架。

• 最弱前置期望算子（wpe） ：该算子将程序 $P$ 和期望 $E$ 转换为另一个期望 $E’$，即前置期望。对于无循环程序，可通过简单机械操作将 $wpe(P, E)$ 转换为不提及程序 $P$ 的形式；但对于循环，$wpe$ 定义为最小不动点，难以简化。
• 循环规则 ：若能找到满足不变式条件的期望 $I$，则可轻松界定循环的 $wpe$。因此，寻找不变式是自动推理概率程序的主要瓶颈。

1.2 发现不变式

近期有两项工作考虑自动推断概率循环的不变式期望：
- Prinsys ：使用带一个空洞的模板生成描述可能替换的一阶逻辑公式，但依赖模板有局限性，且用户需手动求解逻辑公式系统来找到不变式。
- Chen 等人的工作 ：专注于推断多项式不变式，可避免使用模板并应用拉格朗日插值定理，但许多不变式并非多项式。

1.3 我们的方法：不变