15、随机变量与随机过程的深入解析

随机变量与随机过程的深入解析

1. 随机变量基础

随机变量（rv）在概率论和随机信号分析中是核心概念。一个随机变量 (A) 由其概率密度函数（pdf）(f_A(a)) 来确定，其定义为：
[f_A(a) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} P\left[a - \frac{\epsilon}{2} < A < a + \frac{\epsilon}{2}\right]]
简单来说，矩形面积 (\epsilon \cdot f_A(a)) 近似表示概率 (P\left[A < a + \frac{\epsilon}{2}\right] - P\left[a - \frac{\epsilon}{2} \leq A\right])。

对于两个随机变量 (A) 和 (B)，它们的联合概率密度函数 (f_{AB}(a, b)) 定义如下：
[f_{AB}(a, b) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon^2} P\left[a - \epsilon < A < a + \frac{\epsilon}{2} \text{ 且 } b - \epsilon < B < b + \frac{\epsilon}{2}\right]]
这种定义可以推广到任意有限个随机变量的情况。

随机变量 (A) 的期望值 (E[A])，也就是均值 (m_A)，是概率密度函数的一阶矩；方差 (\sigma_A^2) 是二阶中心矩，分别定义为：
[m_A = E[A] = \int_{-\infty}^{\infty} a f_A(