最小二乘法

来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：

用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：

之所以出现不同的值可能因为：

• 不同厂家的尺子的生产精度不同
• 尺子材质不同，热胀冷缩不一样
• 测量的时候心情起伏不定

总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：

日常中就是这么使用的。可是作为很事’er的数学爱好者，自然要想下：

• 这样做有道理吗？
• 用调和平均数行不行？
• 用中位数行不行？
• 用几何平均数行不行？

最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。

首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作$y_i$：

其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作$y$:

每个点都向$y$做垂线，垂线的长度就是 $|y-y_i|$ ，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：

因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：

误差的平方和就是（那个小符号代表误差）：

因为 $y$是猜测的，所以可以不断变换：

自然，误差的平方和在不断变化的。

法国数学家，阿德里安-马里·勒让德（1752－1833，这个头像有点抽象）提出让总的误差的平方最小的$y$就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动。
勒让德的想法变成代数式就是：

这个猜想也蛮符合直觉的，来算一下。

这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：

进而：
.正好是算术平均数。

原来算术平均数可以让误差最小啊，这下看来选用它显得讲道理了。

以下这种方法：

就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思，台湾直接翻译为最小平方法。
推广

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算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。

比如温度与冰淇淋的销量：

看上去像是某种线性关系：

可以假设这种线性关系为：

通过最小二乘法的思想：

上图的$i,x,y$分别为：

总误差的平方为：

不同的$a，b$会导致不同的$S$，根据多元微积分的知识，当：

这个时候$S$取最小值。
对于$a,b$ 而言，上述方程组为线性方程组，用之前的数据解出来：

也就是这根直线：

其实，还可以假设：

在这个假设下，可以根据最小二乘法，算出$a,b,c$，得到下面这根红色的二次曲线：

同一组数据，选择不同的$f(x)$，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线

不同的数据，更可以选择不同的$f(x)$ ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线：

$f(x)$也不能选择任意的函数，还是有一些讲究的，这里就不介绍了。