树状数组

最新推荐文章于 2025-04-24 15:39:27 发布

FireThunderRain

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qwertyuiopasdf_/article/details/40580815

树状数组，听起来是一个多么平凡的数据结构名称，顾名思义就是开一个树一样的数组。但是经过这几天的学习我发现树状数组——普通而奇妙。

引入：

现在有这么一个问题：给你一个数列a，让你求出某区间(i， j)内元素的和，你会怎么做？？如果你没学过树状数组或者线段树这样的数据结构的话，你可能会天真地回答当然是在那多区间扫一遍，把元素累加到一个变量（如：sum。。叫法当然随心所欲）里，不就妥妥地搞定了吗~

这样当然没问题，但是！如果随时要改变元素的值，随时向不同区间询问区间和，而且区间的长度很大很大呢？？那种扫一遍，逐个改变，逐个累加的算法岂不是很慢很慢。所以，树状数组这个神奇的就够就华丽丽的出现了。

大家观察上面的图片，有没有发现什么？其实这就是树状数组的模型。如果你还没发现其中的奥秘——

c[1] = a[1];

c[2] = a[1] + a[2] ;

c[3] = c[3];

c[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]

c[5] = a[5];

c[6] = a[5] + a[6];

c[7] = a[7];

c[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8];

. . . . . .

大家应该可以发现——这里出现了一个神奇而有趣的性质：

对于每一个节点x，它管辖的范围就是它前面的2^k(k代表x在二进制下末尾0的个数)个元素.

就可以得出：c[i] = a[i - 2 ^k + 1] + ... + a[i](i 从1开始算)。注意！c[i]储存的是[a - 2^k, a) 这段区间的元素和！

这样就达到了我们区间求和的目的，而且时间的复杂度由最朴素的O(n) 降低到了O(logn)。则我们称这个c数组叫做树状数组。

下面问题来了，给出i，如何求得2 ^ k呢？

最奇妙的地方来了：2 ^ k = x & (x ^ (x - 1)) 或 = x & (-x);

举例：当i = 6 时， 6在二进制下 = (0110)；

(6 - 1) = 5 在二进制下 = (0101);

(0110) ^ (0101) = (1100)；

(0011) & (0110) = (0010)；

所以，i = 6时，其管辖范围2 ^ k = 2 ^ 1 = 2;

int Lowbit(int x)
{
    return (x & (x ^ (x - 1)));
}

接下来，我们该考虑改变元素的值和求和的问题了——

1）求和——

step1 : int sum, sum = 0; - > step2;

step2 : 假如 i <= 0, 直接返回sum；否则 sum += c[i]; - > step3;

step3 : i -= Lowbit(i); - > step2；

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

int Sum(int end)
{
    int sum = 0;
    for (i = end; i > 0; i -= Lowbit(end))
        sum += c[i];
    return sum;
}

2）改变元素——

修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。所以修改算法如下（给某个结点i加上x）。

step1：当i > n时，算法结束，否则转第二步。

step2: c[i] = c[i] + x， i = i + Lowbit(i)转第一步。

i = i + Lowbit( i ) 这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

对于数组求和来说树状数组简直太快了!

void change(int pos, int x)
{
     for (int i = pos; i <= n; i += Lowbit(pos))
          c[pos] += x;
}