第十二部分 平面图

定义12.1

(1) G可嵌入曲面S——若能将G除顶点外无边相交地画在S上

(2) G是可平面图或平面图——G可嵌入平面Π

(3) 平面嵌入——画出的无边相交的平面图

(4) 非平面图——无平面嵌入的无向图

将图变为没有边相交的图则为平面嵌入，有平面嵌入的叫平面图，没有的叫非平面图

定义12.2

(1) G的面——由G的平面嵌入的边将平面化分成的区域

(2) 无限面或外部面——（可用R0表示）——面积无限的面

(3) 有限面或内部面（可用R1, R2, …, Rk等表示）——面积有限的面

(4) 面 Ri 的边界——包围Ri 的回路组

(5) 面 Ri 的次数——Ri 边界的长度，用deg(Ri )表示

例

此图有四个面

R0，R1，R2，R3

R0为无限面，R1，R2，R3为有限面

每条边为一个单位

deg(R1)=1     a=1

deg(R2)=3     c+e+b=3

deg(R3)=2     f+g=2

deg(R0)=8     d+e+a+b+c+d+f+g=8

需要组成一个回路，外部面则为回路组的长度和

定理12.1 平面图各面次数之和等于边数的两倍

定义12.3 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之间加一条新边所得图为非平面图，则称G为极大平面图

一个平面图增加一条边为非平面图，就是极大平面图

定理12.2 极大平面图是连通的

定理12.3 n（n≥3）阶极大平面图中不可能有割点和桥

定理12.4 设G为n（n≥3）阶极大平面图，则G的每个面的次数均为3

定理12.5 设G为n (n≥3) 阶平面图，且每个面的次数均为3，则G为极大平面图

定义12.4 若在非平面图G中任意删除一条边，所得图G′为平面图，则称G为极小非平面图

一个非平面图去除一条边为平面图，就是极小非平面图

(1) K5, K3,3都是极小非平面图

K5是指五个点，每个点都有连线

K3,3是指完全二部图，V1和V2集合都为三个点

(2) 极小非平面图必为简单图

例

设G是由3个连通分支，K1,K2,K3组成的平面图，则G共有几个面

解

如图

R0一个外部面，R1一个内部面

所以G共有2个面

定理12.6 设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则n−m+r=2 （此公式称为欧拉公式）

定理12.7 （欧拉公式的推广）设G是具有k（k≥2）个连通分支的平面图，则n−m+r=k+1

定理12.8 设G为连通的平面图，且deg(Ri)≥l, l≥3，则 

定理12.9 在具有k（k≥2）个连通分支的平面图中

定理12.10 设G为n（n≥3）阶m条边的简单平面图，则m≤3n−6

定理12.11 设G为n（n≥3）阶m条边的极大平面图，则m=3n−6

定理12.12 设G 为简单平面图，则 δ(G)≤5

认真学到这里，期末考试不用愁啦！