求矩阵列空间基不能用行变换的证据：

考察矩阵
A=$\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 2&1&3\\1&-1&3\end{bmatrix}$列空间的基：
如果用初等行变换化成阶梯型：
$\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&-1&1\\ 0&0&0\end{bmatrix}$
得到A的列空间C（A）的基：
$ζ_1$=$\begin{bmatrix} 1&0&0\end{bmatrix}^T$；
$ζ_2$=$\begin{bmatrix} 1&-1&0\end{bmatrix}^T$
显然这组基不能表出A阵中的任意一列向量(因为第三个非零元素无论如何也不能用$k_1*0+k_2*0$表示出来)，更不用说A的列空间了。
如果用列变换化成阶梯型：
$\begin{bmatrix} 1&2&0\\ 2&3&0\\1&0&0\end{bmatrix}$
这就显得很有道理了，相当于把A的列向量的基找出来了，
即：
$ε_1$=$\begin{bmatrix} 1&2&1\end{bmatrix}^T$;
$ε_2$=$\begin{bmatrix} 2&3&0\end{bmatrix}^T$
所以由A的列向量表征的列空间自然可以用$ε_1$，$ε_2$表示。
总结：
求矩阵列空间C（A）的基不能用行变换