05. 矩阵的零空间与列空间

最新推荐文章于 2025-05-24 15:58:27 发布

TomoyaZhang

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分类专栏：线性代数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/TomoyaZhang/article/details/43916723

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本文介绍了向量空间和子空间的概念，探讨了在R3中的子空间性质，并详细阐述了零空间和列空间的定义。零空间是线性方程组Ax=0的解集构成的子空间，而列空间是矩阵列向量线性组合的集合，是R4的一个子空间。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

向量空间

设向量集合D，所有元素的任意线性组合仍属于D，则称D为向量空间。

子空间

向量空间内的一个向量集合，其中所有元素都属于母空间，但自身又构成一个向量空间。

比如，设向量空间 $R^3$ ，任意一个包含原点的平面构成一个子空间。

性质：任意两个子空间的交集构成一个子空间

证明：

设子空间P和L，对于其交集 $P\cap L$

交集中的任意向量都属于P，所以其任意向量的线性组合都属于P

交集中的任意向量都属于L，所以其任意向量的线性组合都属于L

所以交集 $P\cap L$ 中的任意向量的线性组合都属于 $P\cap L$ ，所以 $P\cap L$ 构成一个子空间

零空间

上篇文章讲到了零空间的定义，零空间也符合向量空间的定义
对于方程 $Ax = 0$

设任意两个解 $x_1$ , $x_2$

其任意的线性组合

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