机器学习精简教程之五——用scikit-learn求解多项式回归问题

本文转自：http://www.shareditor.com/blogshow/?blogId=56

多元真实情况未必是线性的，有时需要增加指数项，也就是多项式回归，现实世界的曲线关系都是通过增加多项式实现的，本节介绍用scikit-learn解决多项式回归问题 

住房价格样本

样本 面积(平方米) 价格(万元)

样本	面积(平方米)	价格(万元)
1	50	150
2	100	200
3	150	250
4	200	280
5	250	310
6	300	330

做图像

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

plt.figure()#实例化作图变量
plt.title("Price & Areas")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axis([30,400,100,400])
plt.grid(True)

xx = [[50],[100],[150],[200],[250],[300]]
yy = [[150],[200],[250],[280],[310],[330]]
plt.plot(xx,yy,'k.')
plt.show()

用线性回归

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
plt.figure()#实例化作图变量
plt.title("Price & Areas")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axis([30,400,100,400])
plt.grid(True)

xx = [[50],[100],[150],[200],[250],[300]]
yy = [[150],[200],[250],[280],[310],[330]]

model = LinearRegression()
model.fit(xx,yy)
x2 = [[30],[400]]
y2 = model.predict(x2)
plt.plot(xx,yy,'k.')
plt.plot(x2,y2,'g-')
plt.show()

得到回归图像：

但是实际情况是，如果房屋面积一味的增加，房价并不会线性增长，因此线性关系已经无法描述真实的房价问题

采用多项式回归

首先我们用二次多项式

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

plt.figure() # 实例化作图变量
plt.title('single variable') # 图像标题
plt.xlabel('x') # x轴文本
plt.ylabel('y') # y轴文本
plt.axis([30, 400, 100, 400])
plt.grid(True) # 是否绘制网格线

X = [[50],[100],[150],[200],[250],[300]]
y = [[150],[200],[250],[280],[310],[330]]
X_test = [[250],[300]]#用来做最终效果测试
y_test = [[310],[330]]
plt.plot(X,y,'k.')

model =LinearRegression()
model.fit(X,y)
X2 = [[30],[400]]
y2 = model.predict(X2)
plt.plot(X2,y2,'g-')

xx = np.linspace(30,400,100) #设计x轴一系列点作为画图的x点集
quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=2)#实例化一个二次多项式特征实例
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X) #用二次多项式对样本X值做变换
xx_quadratic = quadratic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0],1))#把训练好X值得多项式特征实例应用到一系列点上，形成矩阵
regressor_quadratic = LinearRegression()#创建一个线性回归实例
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic,y)#以多项式变换后的x值为输入，代入线性回归模型做训练
plt.plot(xx,regressor_quadratic.predict(xx_quadratic),'r-') #用训练好的模型作图

print("一元线性回归 r-squared",model.score(X_test,y_test))
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test)
print("二次回归  r-squared",regressor_quadratic.score(X_test_quadratic,y_test))

plt.show()

红色为二次多项式回归图像，可以看到比线性模型吻合度高，输出的R方结果为：

一元线性回归 r-squared 0.0755555555556
二次回归  r-squared 0.999336734694

可以看到二次回归效果更好

我们继续尝试一下三次回归

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

plt.figure() # 实例化作图变量
plt.title('single variable') # 图像标题
plt.xlabel('x') # x轴文本
plt.ylabel('y') # y轴文本
plt.axis([30, 400, 100, 400])
plt.grid(True) # 是否绘制网格线

X = [[50],[100],[150],[200],[250],[300]]
y = [[150],[200],[250],[280],[310],[330]]
X_test = [[250],[300]]#用来做最终效果测试
y_test = [[310],[330]]
plt.plot(X,y,'k.')

model =LinearRegression()
model.fit(X,y)
X2 = [[30],[400]]
y2 = model.predict(X2)
plt.plot(X2,y2,'g-')

xx = np.linspace(30,400,100) #设计x轴一系列点作为画图的x点集
quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=2)#实例化一个二次多项式特征实例
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X) #用二次多项式对样本X值做变换
xx_quadratic = quadratic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0],1))#把训练好X值得多项式特征实例应用到一系列点上，形成矩阵
regressor_quadratic = LinearRegression()#创建一个线性回归实例
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic,y)#以多项式变换后的x值为输入，代入线性回归模型做训练
plt.plot(xx,regressor_quadratic.predict(xx_quadratic),'r-') #用训练好的模型作图

cubic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=3)
X_train_cubic = cubic_featurizer.fit_transform(X)
regressor_cubic = LinearRegression()
regressor_cubic.fit(X_train_cubic, y)
xx_cubic = cubic_featurizer.transform(xx.reshape(xx.shape[0], 1))
plt.plot(xx, regressor_cubic.predict(xx_cubic))

print("一元线性回归 r-squared",model.score(X_test,y_test))
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test)
print("二次回归  r-squared",regressor_quadratic.score(X_test_quadratic,y_test))
X_test_cubic = cubic_featurizer.transform(X_test)
print ('三次回归     r-squared', regressor_cubic.score(X_test_cubic, y_test))

plt.show()

R方输出如下：

一元线性回归 r-squared 0.0755555555556
二次回归  r-squared 0.999336734694
三次回归     r-squared 0.99946460066

可以看到三次回归比二次回归效果又好了一些，但是不是很明显。所以二次回归更可能是最适合的回归模型，三次回归可能有过拟合现象