2020-10-05

解N元一次线性方程组

方程组形如：
a11X1+a12X2+……a1nXn=b1
a21X1+a22X2+……a2nXn=b2
……
an1X1+an2X2+……annXn=bn
解题思路：
1、一个N元一次方程组，可以通过求系数矩阵获得方程的解。
（1）计算所有a的系数矩阵值d，如果d不为0，则方程有解，否则，方程无解。
（2）将第一列（程序中为0列）的系数a11，a21，……an1用b1、b2、……bn替代，获取该系数矩阵值d1，则X1=d1/d；以此类推，求得X2、X3、……Xn。
2、系数矩阵运用拉普拉斯展开定理逐步求得。例如，当前N×N系数矩阵可以简化为第一行（程序中为0行）每一个系数×它的余子式之和（偶+奇-），该余子式是一个(N-1)×(N-1)的系数矩阵。直到余子式是2*2的系数矩阵时，计算该系数矩阵的值（a11×a22-a21×a12）。
3、构造3个函数，分别获取余子式，计算系数矩阵值，替换矩阵。

# 获取第0行，第x列元素余子式的行列式（系数矩阵）
def get_child(x, sub):
    result = []
    for row in range(len(sub)):
        if row == 0:
            continue
        temp = []
        for col in range(len(sub)):
            if col == x:
                continue
            temp.append(sub[row][col])
        result.append(temp)
    return result


# 运用拉普拉斯展开定理，通过递归的方式计算行列式（系数矩阵）的值
def calc(matrix):
    if len(matrix) == 2:
        return matrix[1][1] * matrix[0][0] - matrix[1][0] * matrix[0][1]
    elif len(matrix) > 2:
        result = 0
        for i in range(len(matrix)):
            # 获得余子式
            child_item = get_child(i, matrix)
            result += (matrix[0][i] * ((-1) ** i) * calc(child_item))
        return result


# 替换矩阵
def replace(x, a, b):
    length = len(a)
    result = copy.deepcopy(a)
    for i in range(length):
        result[i][x] = b[i]
    return result


if __name__ == "__main__":
    import copy

    a2 = [[3.4, 50.2],
          [2.1, 0.55]]
    b2 = [44.5, 5.9]

    a3 = [[1, 1, 1],
          [1, 2, 3],
          [1, 5, 1]]
    b3 = [5, 9, 10]

    a4 = [[0, -7, 9, -11],
          [0, -7, 7, -12],
          [0, 2, -1, 2],
          [1, 4, -7, 6]]
    b4 = [6, 9, 10, -12]

    a5 = [[1, 2, 3, 4, 5],
          [2, 1, 3, 4, 5],
          [7, 2, 3, 6, 5],
          [1, 2, 5, 8, 1],
          [5, 2, 3, 4, 5]]
    b5 = [1, 2, 3, 4, 5]

    ab = [[a2, b2], [a3, b3], [a4, b4], [a5, b5]]
    for p in ab:
        result1 = []
        d = calc(p[0])
        if d == 0:
            print("无解！")
            continue
        for k in range(len(p[0])):
            r = replace(k, p[0], p[1])
            result1.append(calc(r) / d)
        print(result1)

D:\Python\Python38\python.exe D:/Python/study/20200908/test18.py
[2.623901496861419, 0.7087397392563978]
[2.375, 1.25, 1.375]
[-6.666666666666667, 13.37037037037037, 2.1481481481481484, -7.296296296296297]
[1.0, -0.0, 3.9545454545454546, -2.0, -0.7727272727272727]

Process finished with exit code 0