【数学建模】TOPSIS算法全解析：从数学原理到医疗器械采购决策应用

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💖 引言

​ 在面对多标准多目标决策问题时，如何从众多备选方案中选择出最优解是一个关键挑战。TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution），即逼近理想解排序法，作为一种直观且有效的决策分析工具，为决策提供了全新的视角。它通过巧妙地构建理想解和负理想解，将各方案与这两个极端解的相对接近程度作为排序依据，从而精准地筛选出最优方案。

​ 这种方法在医疗、教育、工业等诸多领域都有着广泛的应用，例如在医疗领域帮助医院选择最适合的医疗器械供应商，在教育领域辅助学校挑选最优质的教学资源等。相较于层次分析法（AHP），TOPSIS法在数据驱动型问题中展现出独特的优势，它能够充分利用原始数据的信息，精确反映各评价方案之间的差距，为我们解决复杂的决策问题提供了有力的支持。

📚 一、TOPSIS算法

🚀 1.1 概念定义

TOPSIS法是一种基于“优劣解距离”的排序方法。它的核心思想是，通过计算各备选方案与理想解（最优解）和负理想解（最劣解）的距离，来确定各方案的优劣顺序。理想解是指各指标都达到最佳值的虚拟解，而负理想解则是各指标都达到最差值的虚拟解。各方案与理想解越接近，与负理想解越远离，则该方案越优。

🚀 1.2 应用场景

TOPSIS法适用于多方案、多指标的决策问题，尤其在以下场景中表现出色：

• 评价指标较多且类型各异（包含极大型、极小型、中间型、区间型等）
• 数据较为完整且稳定，能够准确反映各方案的特性
• 需要对方案进行全面、综合的评价，而不仅仅依赖于单一指标

🚀 1.3 使用条件

在使用TOPSIS法之前，需要满足以下条件：

• 各评价指标的数据必须是可量化的
• 指标之间应具有一定的独立性，避免高度相关性对结果的影响
• 决策问题应具有明确的目标和有限的备选方案

📚二、数学原理

🚀2.1、数据处理

📄2.1.1数据正向化

​ 在数据分析中，不同指标的方向性各不相同：有些指标的值越高越有利，有些则越低越好，还有一些指标的最佳值位于某个特定范围或接近某个中间值。为了便于统一评价，我们需要对这些指标进行正向化处理，将它们都转化为越高越好的形式，类似于考试成绩的高低。根据这些特性，指标可以分为以下四类：

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）指标	越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）指标	越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

将原始决策矩阵$X=(x_{ij}{)}_{m\times n}$转换为同趋势化矩阵：

• 极小型指标：

$$x^{\prime }=\max (x)-x$$

• 中间型指标：

$$x^{\prime }=1-\frac{|x-x_{best}|}{\max |x-x_{best}|}$$

• 区间型指标：分段线性变换在TOPSIS方法中，区间型指标的处理需要将其转换为极大型指标。假设区间型指标的最佳区间为$[a,b]$，对于每个指标值$x_i$，正向化公式如下：

M = max ⁡ { a − min ⁡ { x i } , max ⁡ { x i } − b } M = \max\left\{a - \min\{x_i\}, \max\{x_i\} - b\right\} M=max{a−min{xi​},max{xi​}−b}

$${\tilde{x}}_i=\{\begin{array}{ll}1-\frac{a-x_i}{M}& ,x_i<a\\ 1& ,a\le x_i\le b\\ 1-\frac{x_i-b}{M}& ,x_i>b\end{array}$$

​ 其中，$M$ 是区间外的最大偏离距离，${\tilde{x}}_i$是正向化后的指标值。这个公式将区间型指标转换为极大型指标，使得在区间内的指标值为1，区间外的指标值根据偏离程度进行折减。

例:

体温（转换前）	体温（转换后）
35.2	0.4286
35.8	0.8571
36.6	1
37.1	0.9286
37.8	0.4286
38.4	0

$$a=36,b=37$$

M = max ⁡ { 36 − 35.2 ,   38.4 − 37 } = 1.4 M = \max\{36 - 35.2, \ 38.4 - 37\} = 1.4 M=max{36−35.2, 38.4−37}=1.4

总结：以上方法只是指标转换的其中一种方法，还有许多可以转换的数学方法，可以进行指标的转换。

📄2.1.1数据标准化

​ 为了消除不同指标量纲的影响，需要对正向化矩阵进行标准化处理。常用的标准化方法有max-min标准化和``Z-score`标准化。Z-score标准化公式为：

$$x_{ij}^{\prime }=\frac{x_{ij}-{\mu }_j}{{\sigma }_j}$$
也可以采用向量归一化：
$$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}^2}}$$
可根据情况合理选择合适的标准化方法。

🚀2.2、确定理想解

• 理想最优解：$Z^{+}=[\max z_{1j},\max z_{2j},...,\max z_{nj}]$

• 理想最劣解解：$Z^{-}=[\min z_{1j},\min z_{2j},...,\min z_{nj}]$

  理想最优解、理想最劣解，意思就是每一个评价指标中最好的，和最坏的数值情况。

🚀2.3、计算距离评分

$$C_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$

其中对于第$i$个方案$z_i$，计算它与最优解的距离：
$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^n(z_{ij}-Z_j^{+}{)}^2}$$
与最劣解的距离：
$$D_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^n(z_{ij}-Z_j^{-}{)}^2}$$

🚀2.4、计算方案评分

初始得分计算公式为：
$$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$

$S_i$为初始得分的列向量，再进行列归一化后(将每个元素除以该列之和)就是评价方案间的比重结果了。

注意事项：TOPSIS的所有权重默认是相同的，可以结合熵权法，层次分析法，CRITIC权重法等赋权法结合使用为一些权重赋予不同的权重，来进一步优化决策。具体案例例如熵权法加TOPSIS，细心的才可以看出在哪里使用了。可以参考往期💖【数学建模】熵权法——基于2021全国大学生数学建模C题供应商评价数学建模实战-优快云博客

📚 三、案例分析：医疗器械采购决策

🚀3.1 案例说明

假设一家医院正在选择最佳的医疗器械，有三种设备可供选择：A、B和C。医院需要根据以下四个指标来选择最佳设备：

1. 成本：越低越好（极小型指标）
2. 疗效：越高越好（极大型指标）
3. 维护次数：越少越好（极小型指标）
4. pH适应性：在6.5-7.5之间为最佳（区间型指标）
   决策矩阵（3种医疗器械，4个指标）：

设备	成本(↓)	疗效(↑)	维护次数(↓)	pH适应性(区间6.5-7.5)
A	85	92	8	6.8
B	78	88	6	7.7
C	95	95	9	6.2

🚀 3.2 结果展示

计算结果：

🚀 3.3 Python代码实现

import numpy as np
import pandas as pd

def topsis(data, weights, indicator_types):
    # 数据预处理
    norm_data = data.copy()
    for col in range(data.shape[1]):
        if indicator_types[col] == 'min':
            # 极小型指标转换为极大型指标
            max_val = np.max(data[:, col])
            min_val = np.min(data[:, col])
            # 使用线性转换公式：(max - x) / (max - min)
            norm_data[:, col] = (max_val - data[:, col]) / (max_val - min_val)
        elif indicator_types[col] == 'range':
            # 区间型指标转换为极大型指标
            low, high = 6.5, 7.5  # 区间范围
            dist_low = low - np.min(data[:, col])  # 区间下限与最小值的距离
            dist_high = np.max(data[:, col]) - high  # 区间上限与最大值的距离
            # 使用分段函数进行转换
            '''np.where的基本功能，它是一个条件判断函数，可以根据条件返回不同的值。它的语法是np.where(condition, x, y)，
            意思是：如果条件condition为真，就返回x，否则返回y。
            这个函数的设计本身是支持嵌套的，因为它的返回值可以是一个新的表达式，而这个表达式又可以包含另一个np.where'''
            norm_data[:, col] = np.where(
                (data[:, col] >= low) & (data[:, col] <= high), 1,  # 在区间内值为1
                np.where(data[:, col] < low,
                        1 - (low - data[:, col]) / dist_low,  # 小于下限时，按比例递减
                        1 - (data[:, col] - high) / dist_high))  # 大于上限时，按比例递减
    
    # 标准化与加权
    # 计算标准化矩阵，消除不同指标量纲的影响
    norm_matrix = norm_data / np.linalg.norm(norm_data, axis=0)
    # 对标准化后的数据进行加权处理
    weighted_matrix = norm_matrix * weights
    
    # 计算理想解
    # 理想解是各指标的最优值
    Z_pos = np.max(weighted_matrix, axis=0)
    # 负理想解是各指标的最差值
    Z_neg = np.min(weighted_matrix, axis=0)
    
    # 欧式距离计算
    # 计算各方案与理想解的欧氏距离
    D_pos = np.sqrt(((weighted_matrix - Z_pos)**2).sum(axis=1))
    # 计算各方案与负理想解的欧氏距离
    D_neg = np.sqrt(((weighted_matrix - Z_neg)**2).sum(axis=1))
    
    # 综合得分
    # 根据公式计算综合得分：D_neg / (D_pos + D_neg)
    scores = D_neg / (D_pos + D_neg)
    
    return D_pos, D_neg, scores

# 示例调用
data = np.array([[85, 92, 8, 6.8], [78, 88, 6, 7.7], [95, 95, 9, 6.2]])
weights = [0.3, 0.4, 0.2, 0.1]
indicator_types = ['min', 'max', 'min', 'range']

D_pos, D_neg, scores = topsis(data, weights, indicator_types)

# 创建DataFrame展示结果
results = pd.DataFrame({
    '设备': ['A', 'B', 'C'],
    '综合得分': np.round(scores, 3),
    '到理想解的距离': np.round(D_pos, 3),
    '到负理想解的距离': np.round(D_neg, 3)
})

# 按综合得分降序排列
results = results.sort_values(by='综合得分', ascending=False)
results['排名'] = range(1, len(results) + 1)

display(results)

通过TOPSIS法，可以综合考虑这些指标，计算出每个设备的综合得分，并根据得分进行排序。最终，设备B以最高的综合得分被选为最佳医疗器械。

📚参考链接

1、TOPSIS(逼近理想解)算法原理详解与代码实现 - 知乎