bellman_ford之单源有限最短路-优快云博客

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往期博文：

bellman_ford之判断负权回路-优快云博客

Bellman_ford 算法--带负权值的单源最短路问题，边列表存储-优快云博客

这三道题目都是关于bellman_ford求最短路的问题，只是条件不同，这是最后一期，建议大家三期一期学习哦👍👍👍

一、题目描述

二、解题思路

最多经过 k 个城市的条件下，而不是一定经过k个城市，也可以经过的城市数量比k小，但要最短的路径。

在 kama94.城市间货物运输I 中我们讲了：对所有边松弛一次，相当于计算起点到达与起点一条边相连的节点的最短距离。节点数量为n，起点到终点，最多是 n-1 条边相连。那么对所有边松弛 n-1 次就一定能得到起点到达终点的最短距离。

本题是最多经过 k 个城市，那么是 k + 1条边相连的节点。所以本题就是求：起点最多经过k + 1 条边到达终点的最短距离。

对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达与起点一条边相连的节点 的最短距离，那么对所有边松弛 k + 1次，就是求起点到达与起点k + 1条边相连的节点的最短距离。

但是这样就造成了一个情况，即：计算minDist数组的时候，基于了本次松弛的 minDist数值，而不是上一次松弛时候minDist的数值。所以在每次计算 minDist 时候，要基于对所有边上一次松弛的 minDist 数值才行，所以我们要记录上一次松弛的minDist。😢😢😢😢😢

why?

在对所有边松弛第一次的过程中，大家会发现，不仅仅与起点一条边相连的节点更新了，所有节点都更新了。

而且对所有边的后面几次松弛，同样是更新了所有的节点，说明至多经过k 个节点这个限制根本没有限制住，每个节点的数值都被更新了。代码随想录 ---可以看看卡哥是怎么讲解的呜呜呜

三、完整代码

//对所有边松弛k+1次
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<vector<int>> edges;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int s,t,v;
        cin>>s>>t>>v;
        edges.push_back({s,t,v});
    }
    int src,dst,k;
    cin>>src>>dst>>k;
    int start=src;
    int end=dst;
    //初始化距离数组
    vector<int> mindist(n+1,INT_MAX);
    // 用来记录上一次遍历的结果
    vector<int> mindist_copy(n + 1); 
    mindist[start]=0;
    //对每条边进行k+1次松弛
    for(int i=1;i<=k+1;i++)
    {
        mindist_copy = mindist; // 获取上一次计算的结果
        for(auto edge:edges)
        {
            int from=edge[0];
            int to=edge[1];
            int cost=edge[2];
            // 注意使用 minDist_copy 来计算更新 新的minDist[to] 
            if(mindist_copy[from]!=INT_MAX)
            {
                mindist[to]=min(mindist[to],mindist_copy[from]+cost);
            }

        }
    }
    if(mindist[end]==INT_MAX) cout<<"unreachable";
    else cout<<mindist[end];
    return 0;
}

四、总结

auv,现在我刚学玩这个系列，真的感觉很熟悉很熟悉了，代码写了五六七八遍了，但是我相信自己下次碰到类似的新题，，，，，肯定不能一鼓作气写出来代码。。。。Bellman-Ford的核心优势是能够处理图中存在负权边的情况，但是即使图中所有边权均为非负值，Bellman-Ford算法仍然能正确计算最短路径，只是效率不如Dijkstra算法【看下面的博客，说实话我已经忘了他是怎么更新的了.......😭😭😭😭】

算法-图-dijkstra 最短路径-优快云博客