【算法导论】桶排序(Bucket Sort)详解

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title:Bucket Sort
date:2023-10-05 21:24:49
tags:Computer science

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桶排序(Bucket Sort)

桶排序也是线性时间的排序方法，下面介绍其原理以及代码展示。

原理

桶排序如其名,是将输入序列分配到不同“桶”中，再对分别对桶内的元素进行排序的操作。当然这只是一种感性的解释。

假如输入序列的n个元素均匀，独立地分布在序列[0,1)上，那么可以将[0,1)划分为n个相同大小的区间，即是"桶"，由于这些元素均匀独立地分布在[0,1)上，所以不会有许多的元素在同一个区间上，之后对每一个区间上的元素排序，再将区间上元素依次列出，完成了排序。

假设我们有一个10元素序列均匀独立分布在[0，1）上，那么桶排序可以由下图表示：

在图中，我们建立了一个临时数组B[0…n-1]来存放链表，这个临时数组就是“桶”，每个“桶”内的元素再进行了排序。

如何将元素插入对的桶中呢？

假设要处理的元素为A[i],那么我们可以low(nA[i]),比如上面的.12 * 10 = 1.2 ,low(1.2) = 1,那么这个.12会被放进下标为1的桶中，由于low(.13 * 10) = 1，所以被放入同一个桶中。

那么对于两个元素A[i] <=A[j]，low(nA[i]) <=low(nA[j])，如果A[i]和A[j]被放入同一个桶中，那么在桶内排序时，两个元素能成为正确的排序，如果A[i]和A[j]被放入了不同桶中，那么A[i]只会被放入下标更小的桶中，在最后根据桶的下标依次输出，两个元素也是正确的顺序，因此这个算法是正确的。

代码

public static void BucketSort(double[] a){
    int n = a.length;
    List<integer>[] b = new List[n];//表示一个泛型数组，其中每个元素都是一个 List 对象，该 List 对象中存储的元素类型为 Integer
    for(int i = 0;i < n;i++){
    	b[i] = new Arraylist<>();
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        b[(int)(n*a[i])].add(a[i]);
    }
    for(int i = 0; i < n-1; i++){
        b[i].sort();
    }
    System.out.println(b); 
}

性能分析

我们可以注意到时间复杂度主要在分配元素和对桶内排序上，除了插入排序之外的时间复杂度可以用O(n)表示，关键在于插入排序的分析。

假设第i桶内的元素个数用n[i]表示，那么时间代价为：
$$\sum _{i=0}^{n-1}O(n_i^2)$$
那么总的时间代价可以表示为
$$T(n)=\Theta (n)+\sum _{i=0}^{n-1}O(n_i^2)$$
关于对时间代价的期望，《算法导论》已经给出了很详细的解释，这里由于无法给出更简洁更有趣的求取过程，便不再赘述。

最后求得桶排序的时间复杂度为：
$$\Theta (n)$$
即使桶排序的元素不服从均匀分布，桶排序依然可以在线性时间完成，只要输入序列满足：

所有桶的大小的平方和总的元素呈现线性关系。

那么，桶排序可以在线性时间内完成。