概率论基础知识总结（1）

最新推荐文章于 2025-05-16 11:50:04 发布

浅忆へ梦微凉

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分类专栏：基础数学复习文章标签：概率论

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一、随机变量及其分布

1、随机变量

2、离散型随机变量及其分布

2.1 三种重要离散型随机变量

(0-1)分布：

设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是

$P=\left \{ X=k \right \}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1(0<p<1)$ ，

则称X服从以为参数的(0 — 1)分布或两点分布。

(0-1)分布的分布律也可写成

伯努利试验、二项分布：

设试验E只有两个可能结果：A及,则称E为伯努利试验. 设P(A)=p(0<p<1),此时P()=1-p.将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。

泊松分布：

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…，而取各个值的概率为

$P\left \{ X=k \right \}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,···$

其中 $\lambda>0$ 是常数，则称X服从参数为人的泊松分布，记为 $X\sim \pi(\lambda)$

泊松定理：

设 $\lambda>0$ 是一个常数，n是任意正整数，设 $np_{n}=\lambda$ 则对于任一固定的非负整数k有

$lim _{n \to \infty}(_{k}^n)p_n^k (1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$

以n，p，为参数的二项分布的概率值可以由参数为的泊松分布的概率值近似。

3.随机变量的分布函数

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数

$F(x)=P\left \{ X\leqslant x \right \},-\infty <x<\infty$

称为X的分布函数。

4.连续型随机变量及其概率密度

4.1 三种重要连续型随机变量

均匀分布:

若连续型随机变量X具有概率密度

则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为 $X\sim U(a,b)$

X的分布函数为

指数分布:

若连续型随机变量X具有概率密度

其中 $\theta >0$ 为常数，则称X服从指数分布。

X的分布函数为

正态分布:

若连续型随机变量X具有概率密度

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty <x<\infty$

其中 $\mu,\sigma(\sigma>0)$ 为常数，则称X服从参数为的正态分布。

二、多维随机变量及其分布

1. 二维随机变量及分布

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：

称为二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数。

如果二维随机变量 $(X,Y)$ 全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称是离散型的随机变量。

设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 所有可能取的值为，记
$P\left \{ X=x_i ,Y=y_i\right \}=P_{ij},i,j=1,2,3,....$ ,称为二维离散型随机变量的概率分布。

$P_{i\cdot }=\sum_{i=1}^\infty P_{ij}=P\left \{ X=x_{i} \right \},i=1,2,3,.....$

$P_{\cdot j }=\sum_{i=1}^\infty P_{ij}=P\left \{ Y=y_{i} \right \},i=1,2,3,.....$

称为二维离散型随机变量关于X和关于Y的边缘分布。

对于给定的j，如果 $P(Y=y_i)>0$ ,

$P\left \{ X=x_i|Y=y_i \right \}=\frac{P\left \{ X=x_i,Y=y_i \right \}}{P\left\{Y=y_i\right\}}=\frac{P_{ij}}{P_{\cdot j}},i=1,2,3.....$

称为条件下随机变量X的条件分布律。

对于二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数，如果存在非负的函数，使对于任意有
$F(x,y)=\int_{-\infty }^y\int_{-\infty}^xf(u,v)dudv$ ,称 $(X,Y)$ 是连续型的二维随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度。

分别称为 $f_x(x)$ 和 $f_y(y)$ 为 $(X,Y)$ 关于X和关于Y的边缘概率密度。

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$ , $(X,Y)$ 关于Y的边缘概率密度为 $f_y(y)$ 。若对于固定的y， $f_y(y)>0$ ,则称 $\frac{f(x,y)}{f_y(y)}$ 为在Y=y的条件下X的条件概率密度,记为

2. 相互独立的随机变量

设 $F(x,y)$ 及 $F_x(x)$ 、 $F_y(y)$ 分别是二维随机变量(x,y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有有 $P\left \{ X\leqslant x,Y\leqslant y \right \}=P\left \{ X\leqslant x \right \}P\left \{ Y\leqslant y \right \}$ ，即 $F(x,y)=F_x(x)F_y(y)$ 则称随机变量和是相互独立的.