【数据结构之二叉搜索树（BST）】

最新推荐文章于 2025-04-06 18:30:29 发布

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分类专栏：数据结构文章标签：数据结构

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文章目录

一、前言
二、二叉搜索树的定义
三、二叉搜索树的基本操作
四、时间与空间复杂度分析
五、二叉搜索树的应用
六、总结

一、前言

在数据结构中，二叉搜索树（Binary Search Tree，简称 BST） 是一种非常重要的树形结构。它在查找、插入和删除操作中具有良好的性能，广泛应用于数据库索引、内存管理、集合操作等场景。本文将详细介绍 BST 的概念、基本操作、实现方式及其复杂度分析。

二、二叉搜索树的定义

二叉搜索树是一种满足以下特性的数据结构：

每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。
左子树上所有节点的值均小于根节点的值。
右子树上所有节点的值均大于根节点的值。
左右子树本身也是二叉搜索树。

✅ 示例图：

         10  
       /    \  
     5      15  
    / \    /  \  
   3   7  12  18

根节点：10
左子树：{3, 5, 7}
右子树：{12, 15, 18}

三、二叉搜索树的基本操作

1. 插入节点

插入操作遵循以下规则：

若树为空，则创建根节点。
若插入值小于当前节点，递归插入到左子树。
若插入值大于当前节点，递归插入到右子树。

✅ C语言实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct Node {
    int data;
    struct Node *left, *right;
} Node;

// 创建新节点
Node* createNode(int data) {
    Node* newNode = (Node*)malloc(sizeof(Node));
    newNode->data = data;
    newNode->left = newNode->right = NULL;
    return newNode;
}

// 插入节点
Node* insert(Node* root, int data) {
    if (root == NULL) {
        return createNode(data);
    }
    if (data < root->data) {
        root->left = insert(root->left, data);
    } else {
        root->right = insert(root->right, data);
    }
    return root;
}

// 中序遍历（用于验证 BST）
void inorder(Node* root) {
    if (root != NULL) {
        inorder(root->left);
        printf("%d ", root->data);
        inorder(root->right);
    }
}

int main() {
    Node* root = NULL;
    root = insert(root, 10);
    insert(root, 5);
    insert(root, 15);
    insert(root, 3);
    insert(root, 7);
    insert(root, 12);
    insert(root, 18);

    printf("BST Inorder Traversal: ");
    inorder(root);  // 3 5 7 10 12 15 18
    return 0;
}

2. 查找节点

查找操作遵循以下规则：

若当前节点值等于目标值，则返回该节点。
若目标值小于当前节点，递归在左子树查找。
若目标值大于当前节点，递归在右子树查找。

✅ C语言实现：

// 查找节点
Node* search(Node* root, int key) {
    if (root == NULL || root->data == key) {
        return root;
    }
    if (key < root->data) {
        return search(root->left, key);
    }
    return search(root->right, key);
}

int main() {
    Node* root = NULL;
    root = insert(root, 10);
    insert(root, 5);
    insert(root, 15);

    int key = 5;
    Node* result = search(root, key);
    if (result != NULL) {
        printf("Found node with value: %d\n", result->data);
    } else {
        printf("Node not found.\n");
    }
    return 0;
}

3. 删除节点

删除节点分为三种情况：

叶子节点：直接删除即可。
只有一个子节点：将父节点指向子节点。
有两个子节点：
- 找到中序后继节点（右子树中最小节点）。
- 将目标节点替换为后继节点。
- 删除后继节点。

✅ C语言实现：

// 寻找最小值节点
Node* minValueNode(Node* node) {
    Node* current = node;
    while (current && current->left != NULL) {
        current = current->left;
    }
    return current;
}

// 删除节点
Node* deleteNode(Node* root, int key) {
    if (root == NULL) return root;

    if (key < root->data) {
        root->left = deleteNode(root->left, key);
    } else if (key > root->data) {
        root->right = deleteNode(root->right, key);
    } else {
        if (root->left == NULL) {
            Node* temp = root->right;
            free(root);
            return temp;
        } else if (root->right == NULL) {
            Node* temp = root->left;
            free(root);
            return temp;
        }

        Node* temp = minValueNode(root->right);
        root->data = temp->data;
        root->right = deleteNode(root->right, temp->data);
    }
    return root;
}