从零开始学数值分析--数值积分

# 导入numpy库，用于进行科学计算
import numpy as np

# 导入math库，用于数学函数的计算
import math

# 导入pandas库，用于数据处理和分析
import pandas as pd

# 导入scipy库，用于科学计算和工程技术
import scipy

# 导入sympy库，用于符号数学计算
import sympy as syp

# 导入matplotlib库，用于数据可视化
import matplotlib.pyplot as plt

对于一个函数求解其积分问题,最直接的方式即是采用Newton-Leibniz公式,即:
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
其中,$F(x)$为$f(x)$的原函数
而在某些情况下原函数$F(x)$很难求出,这时我们需要采用机械求积的方法来对函数进行积分求解

def f(x):
    return np.exp(x).astype(np.float64)

a,b = -1,1

N = 101

x = np.linspace(a,b,N)

y = f(x)

plt.plot(x,y)
plt.legend(['f(x) = exp(x)'])

数值积分

概述

数值积分是数值分析领域的一个重要部分，它旨在近似计算函数在特定区间上的定积分。当被积函数没有显式积分形式或难以求解时，数值积分方法显得尤为重要。这些方法通过将积分区间分割成多个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行某种形式的近似求和，从而得到整个区间上积分的近似值。

基本原理

对于某一个被积函数$f(x)$而言,其在区间$[a,b]$上的数值积分的的原理为:
$${\int }_a^{b}f(x)dx=\sum _{i=1}^n{A}_{i}f(x_i)$$,
即将$f(x)$转换为某些个求积节点 { x 1 , ⋯   , x n } \{x_1,\cdots,x_n\} { x1​,⋯,xn​}上的加权和,其中$A_i$为每个$x_i$的求积权重,仅与求积节点的选取相关.

常用方法

1. 中点矩形法（Midpoint Rule）
   原理：在每个小区间中取中点的函数值作为该区间的代表值。
   公式：$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \Delta x\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)$$
   优点：通常比左右矩形法更准确。
2. 梯形法则（Trapezoidal Rule）
   原理：假设函数在每个小区间内线性变化，即用梯形的面积来近似区间下的面积。
   公式：$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{\Delta x}{2}\sum _{i=1}^n[f(x_{i-1})+f(x_i)]$$
   优点：综合了左右端点信息，精度优于单一矩形法。
3. 辛普森法则（Simpson’s Rule）
   原理：适用于偶数个小区间的情况，假设函数在每个小区间内可由二次多项式近似。
   公式：