减治法实现二进制反射格雷码

二进制反射格雷码（Binary Reflected Gray Code, BRGC）是一种特殊的二进制编码方式，其中两个连续的数值只在一位上不同。这种编码方式常用于减少转换时的错误，特别是在模拟到数字转换、通信协议以及组合逻辑电路中。

概念

格雷码的一个重要特性是它的最小变化性：从一个代码变到下一个代码时，只有一个位发生改变。对于n位的二进制反射格雷码，它由2^n个不同的n位长的序列组成，这些序列按照特定规则排列，使得相邻的两个序列之间仅有一位不同。

用减治法实现二进制反射格雷码可以通过减少问题规模的方式来构建。减治法的思想是将原问题分解为一个或多个较小的子问题，然后通过解决这些子问题来得到原问题的解。

对于二进制反射格雷码而言，我们可以通过以下步骤来应用减治法：

1. 减小问题规模：假设我们知道如何生成n-1位的格雷码序列。
2. 构造n位格雷码：
   1. 在所有n-1位格雷码前加上'0'，形成一部分n位格雷码。
   2. 将n-1位格雷码序列反转，并在每个元素前加上'1'，形成另一部分n位格雷码。
3. 合并结果：将两部分n位格雷码连接起来，即得到了完整的n位格雷码序列。

这种方法符合减治法的原则，因为它通过递归地解决问题的一个更小实例来解决了原始问题。

实现过程

二进制反射格雷码可以通过递归定义来生成：

1. 当n=1时，格雷码为"0"和"1"。
2. 对于更大的n值，先生成n-1位的所有格雷码。
3. 然后将这个列表复制并反转。
4. 在原列表的每个元素前加上'0'，在反转后的列表的每个元素前加上'1'。
5. 将这两部分合并即得到n位的格雷码。

例如，对于2位的格雷码：

• 从1位开始：["0", "1"]
• 反转并加前缀：["00", "01"] 和 ["11", "10"]
• 合并结果：["00", "01", "11", "10"]

对于4位的格雷码生成过程

1. n = 1: ["0", "1"]
2. n = 2:
   1. 反转并加前缀：["00", "01"] 和 ["11", "10"]
   2. 合并结果：["00", "01", "11", "10"]
3. n = 3:
   1. 反转并加前缀：["000", "001", "011", "010"] 和 ["110", "111", "101", "100"]
   2. 合并结果：["000", "001", "011", "010", "110", "111", "101", "100"]
4. n = 4:
   1. 反转并加前缀：["0000", "0001", "0011", "0010", "0110", "0111", "0101", "0100"] 和 ["1100", "1101", "1111", "1110", "1010", "1011", "1001", "1000"]
   2. 合并结果：["0000", "0001", "0011", "0010", "0110", "0111", "0101", "0100", "1100", "1101", "1111", "1110", "1010", "1011", "1001", "1000"]

最终得到的4位二进制反射格雷码为：

1. 1. "0000", "0001", "0011", "0010", "0110", "0111", "0101", "0100", "1100", "1101", "1111", "1110", "1010",

关键代码

// 递归生成n位的二进制反射格雷码

void BRGC(int n, vector<string>& L) {  

  if (n == 1) {       

    // 如果n=1，则表L中包含位串"0"和位串"1"   

L.push_back("0");       

    L.push_back("1");   

 } else {      

       // 调用BRGC(n-1)生成长度为n-1的位串列表L1     

      vector<string> L1;       

      BRGC(n - 1, L1);              

      // 把表L1倒序后复制给表L2       

vector<string> L2(L1.rbegin(), L1.rend());         

     // 把0加到表L1中的每个位串前面    

for (auto& s : L1) {     

       L.push_back("0" + s);        }

       // 把1加到表L2中的每个位串前面       

 for (auto& s : L2) {  

L.push_back("1" + s);   

     }

    }

}

代码模式