高等数学基础篇（数二）之多元函数的极值与最值

多元函数的极值与最值：

一、无约束极值

二、条件极值及拉格朗日乘数法

三、最大最小值

四、常考题型

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目录

一、无约束极值

1.定义

2.极值的必要条件

3.极值的充分条件

二、条件极值及拉格朗日乘数法

三、最大最小值

四、常考题型

1.求极值（无条件）

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2.求最大值最小值

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一、无约束极值

1.定义

2.极值的必要条件

3.极值的充分条件

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二、条件极值及拉格朗日乘数法

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三、最大最小值

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四、常考题型

1.求极值（无条件）

方法一：充分条件

前提：

已知z的全微分，则可微必连续，根据全微分的公式可以看出，这个函数对x的一阶偏导为x，对y的一阶偏导为y，则二阶偏导存在且连续，在（0,0）点处，x=y=一阶偏导=0，满足极值的充分条件；

解法：

求出二阶偏导A、B、C，判断AC-B^2与0的大小关系，进而推出（0，0）点的极值情况

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方法二：求出f（x，y）

补充：已知全微分求原函数的方法

方法1：偏积分法

方法2：凑微分法

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补充：可能存在的极值点

1.驻点（所有一阶偏导数都为0的点（横坐标））

2.f'x与f'y都不存在

3.f'x不存在，f'y存在且=0

4.f'y不存在，f'x存在且=0

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2.求最大值最小值

约束条件最值解题一般方法：

1.构造拉格朗日函数

2.F对未知量的偏导构建方程组

3.解出方程组带入函数

4.比较最值

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