计算机组成原理（第二章）

倾酒祭流年792

已于 2023-07-04 18:22:27 修改

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于 2023-07-04 11:29:59 首次发布

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2.2_1_电路的基本原理、串行进位加法器设计

二.数据的表示和运算

2.1_1_进位计数制

罗马数字

十进制计数法

r进制计数法

任意进制->十进制

二进制<->八进制、十六进制

各种进制的常见书写方式

十进制->任意进制

真值和机器数

知识回顾和重要考点

二进制 <—> 八进制、十六进制补位

整数高位补0

小数低位补0

2.1_2_其余常见编码

BCD码

8421码，结果不在映射表里，加上6（0110）进行修正

余3码、2421码

有权码：8421码，2421码

无权码：余3码

2421码规定0~4第一位为0，5~9第一位为1

格雷码

过渡噪声

二进制码会产生过渡噪声

格雷码与8421码之间的转换

以 n = 3 为例，8421码与格雷码之间的对应关系如下：

格雷码也是以全0开头的

十进制	8421码	格雷码
0	000	000
1	001	001
2	010	011
3	011	010
4	100	110
5	101	111
6	110	101
7	111	100

2.1 8421码 ==> 格雷码

算法 1、8421码最左边一位不变，保留下来成为格雷码的最左边一位； 2、从左边第二位开始，将8421码的每一位与它左边的一位相异或得到对应位的格雷码；

代码实现

<span style="background-color:#f8f8f8"><span style="color:#333333">public static int toGrayCode(int i) {
	return i ^ (i >> 1);
}</span></span>

将 i 与i - 1 异或，也即将 i 的每一位与它的左边一位相异或。右移操作左边是补的0，0与任何数异或等于其本身，因此最左边一位被保留了。

2.2 格雷码 ==> 8421码

算法 1、格雷码的最左边一位保持不变，保留下来成为8421码的最左边一位； 2、从左边第二位开始，将格雷码的每一位与前一位计算得到的8421码异或得到当前的8421码；

解释

8421码转格雷码是通过 i ^ (i - 1) 实现的，要想将格雷码转换为8421码，我们知道，异或运算有如下性质： (a ^ b) ^ b = a ^ (b ^ b) = a

因此，可以得到 (i ^ (i >> 1)) ^ (i >> 1) = i ^ ((i >> 1) ^ (i >> 1)) = i 所以在上面的算法中在计算当前位的8421码时，需要将当前位的格雷码与上一位计算得到的8421码异或。

美国信息交换标准代码（ASCII）

知识回顾与重要考点

2.1_3_无符号整数的表示和运算

无符号整数在计算机中的应用

无符号整数的表示

无符号整数的加法运算

无符号整数的减法运算

“被减数"不变，"减数"全部位按位取反、末位+1，减法变加法
从最低位开始，按位相加，并网更高位进位

知识回顾

2.1_4_带符号整数的表示和运算原反补

带符号整数在计算机中的应用

原码

原码表示

原码的缺点

原码->反码->补码的转换

补码中从右往左找到的第一个1的左边的数和反码保持一致

右边的数和原码保持一致

注意：无论是是原码->反码，还是原码->补码，都是“数值位“按位取反

补码的加法运算

注意：

补码数值位不能解读为“位权”
符号位参与运算

补码的减法运算

方法一 : 全部位按位取反，末位加1

方法二：补码中找到的第一个1左边的数全部取反（包括符号位）

知识回顾与重点考点

2.1_5_原反补码的特性对比

此处的(最小数/最大数)为补码、反码转回原码后（真值）的(最小值/最大值)

注意：

补码的最小值为-2^n
补码的真值0只有1种表示方式
补码中的-128无法转换为相同位数的原码
[1000 0000]作为补码表示-128不是算出来的，是规定的

2.1_6_移码

移码：补码的基础上将符号位取反

注：移码只能用于表示整数

2.1_7_各种码的基本特性总结

总结：

原码和反码的真值0有两种表示
补码和移码的真值0只有一种表示
补码和移码可以多表示一个负数

练习

易错：

0代表正数，1代表负数
正数的原码、反码、补码相同

移码真值的绝对值 + 补码真值的绝对值 = 128（2^{n - 1}） n为位数

2.1_8_定点小数

原码

原码/反码/补码的转换

定点小数的加/减运算

对两个定点小数A、B进行加法/减法时，需要先转换为补码（与定点整数补码运算法则一致）

定点小数VS定点整数

2.1_9_-128的二进制

负数用它的绝对值的补数表示也就是“模-|负数x|” 表示

把0~255进行对半分，0~127以及128~255像上面所说的100一样，，0~127表示正数，128~255表示负数补数的负值，也就是说128~255为【模】-|负数x|后的值，256-|-128|=128，256-|-1|=255

2.2_0_奇偶校验码

奇数个1，异或结果为1

偶数个1，异或结果为0

2.2_1_电路的基本原理、串行进位加法器设计

总览

算数逻辑单元ALU

机器字长：计算机能直接处理的二进制数据的位数，机器字长一般等于内部寄存器的大小，它决定了计算机的运算精度。

最基本的逻辑运算

优先级：与 > 或

复合逻辑

用门电路求偶校验位

一位全加器

串行加法器

串行进位的并行加法器

本节总览

2.2_2_并行进位加法器

并行加法器的优化

每一位的进位几乎是同时产生的

每一个进位都可以分解为最初已知的数值运算的结果

2.2_3_补码加减运算器

加法器原理

Cin：来自低位的进位

Cout: 最高位产生的进位

补码的加减运算

加法运算：Sub为0，Cin为0

减法运算：Sub为1， Cin为1

Sub = Cin

此处X，Y均为补码

此电路通路适用于无符号整数

无符号整数加法，直接相加

减法，减数全部位按位取反，末位加一，减法变加法

2.2_4_标志位的生成

OF（Overflow flag）

溢出标志位

OF = 最高位产生的进位 & 次高位产生的进位

范围：仅对有符号数有效

含义：有符号数的加减运算是否发生了溢出

本质：判断符号位是否发生改变（即结果的最高位由0变为1或由1变为0）

一正一负不会产生溢出
两个正数：0（最高位进位）& 1（次高位进位）

例：0100 + 0111 = 1011（溢出）0 -> 1
两个负数：1（最高位进位）& 0（次高位进位）

例：1000 + 1100 = 10100（溢出）1 -> 0，4bit，最高位的1舍去

SF（Sign flag）

符号标志位

OF = 最高位的本位和

范围：仅对有符号数有效

含义：有符号加减运算的正负性

ZF（Zero flag）

零标志位

含义：结果是否为0，ZF = 1表示运算结果为0，ZF = 0表示运算结果为1

CF（Carry flag)

进位标志位

CF = 最高位产生的进位 & sub（sub = 1,表示减法，sub = 0,表示加法）

范围：仅对无符号数有效

含义：进位/借位标志

加法：只有两个数最高位同为1，产生进位

1000 + 1100 = 10100（进位）
减法
- 借位条件：最高位不产生进位（0 & (sub == 1) = 1)
- X - Y
  
  X + (-Y)，可能会产生借位（X < Y)
  
  X = 1011(11) Y = 1100(12)
  
  1011 + 0011 + 1 = 1111（产生借位）

2.2_5_定点数的移位运算

知识总览

算数移位

符号位不参与移位

原码的算数移位

反码的算数移位

正数反码算数移位（同原码）：

右移（同原码），高位补0，低位舍弃
左移（同原码），低位补0，高位舍弃

负数反码算数移位：

右移，高位补1，低位舍弃
左移，低位补1，高位舍弃

补码的算数移位

在补码中，从右往左找到第一个1，这个1的左边与反码保持一致，这个1及右边的数同原码保持一致

正数补码算数移位（同原码）：

右移（同原码），高位补0，低位舍弃
左移（同原码），低位补0，高位舍弃

负数补码算数移位：

右移（同反码），高位补1，低位舍弃
左移（同原码），低位补0，高位舍弃

精度损失

算数移位的应用举例

逻辑移位

符号位参与移位

相当于无符号数的算数移位

逻辑移位的应用举例

循环移位

可以用于高低字节的调换（大小端转换）

大端：数据的高字节存储在地址的低位，数据的低字节存储在地址的高位（与平时读写一致）

小端：数据的低字节存储在地址的高位，数据的高字节存储在地址的低位

总结

2.2_6_原码补码一位乘法运算

总览

乘法运算的实现思想

手算乘法（十进制）

手算乘法（二进制）

原码一位乘法

符号单独处理：符号位 = x_s^y_s

数值位取绝对值进行乘法计算

红色的数字称为--部分积

手算模拟

Tips:

逻辑右移（符号参与移位）

01.0011 右移1位 00.1001 1

乘数的符号位不参与运算
原码一位乘法可以只用单符号位

补码一位乘法

MQ为单符号位的补码（最后一位为辅助位）

X为双符号位的补码

补码一位乘法（手动模拟）

进行4次右移
最后还要对补码的MQ的最后一位（原符号位）进行加法运算（不进行右移操作）

注：

补码的算数右移（符号位不参与移动）

11.0101

右移 11.1010 1

负数的补码，左移右补0，右移左补1

符号位参与运算

11.1011

+ 00.1101

= 100.1000 = 00.1000

2.2_7_原码补码一位除法运算

总览

除法运算的思想

原码除法：恢复余数法

步骤：

计算机默认上商1
ACC中存入被除数-除数的结果
检测到符号位为负数
进行改正，商0，ACC加上除数，恢复余数
ACC和MQ中所有数逻辑左移，MQ低位补0

上商1（ACC存储的余数为|x| - |y| = |x| + [-|y|_{补码}] )

检测到错误（符号位为1，即被除数 < 除数）

修正（恢复余数，上商0），(ACC存储的余数恢复为 |x| + |y| = |x| + [|y|_{补码}])

逻辑左移

步骤：

计算机默认商1
ACC中存入被除数-除数的结果
检测到符号位为正数，得到正确余数
ACC和MQ中所有数逻辑左移，MQ低位补0

原码除法：恢复余数法(手算)

左移n次，上商n+1次，最后一次上商不进行左移

原码除法：加减交替法

定点小数无法表示>1的数，所以第一次商1，结果一定是负数

否则硬件电路直接停止操作

Tips：若余数为负，需商0，并+[|y|]_补的到正确的余数

补码除法

补码除法：

符号位参与运算（此处为[y_{补码}]，而不是[-|y|_{补码}])
被除数/余数、除数采用双符号位

除法运算总结回顾

2.2_8_C语言类型转换

#include<stdio.h>

int main()
{
    // 无符号数变有符号数，不改变数据内容，改变解释方式
    // 正数符号位为0，无影响；负数符号位为1，有影响，数据变大
    short x = -4321;
    unsigned short y = (unsigned short)x; 
    printf("x = %d, y = %d\n", x, y);     
    printf("\n");

    // 长整数变短整数，高位截断，保留低位（数值改变，正负可能发生改变）
    int a = 165537, b = -34991;
    short c = (short)a, d = (short)b;
    printf("a = %d, c = %d\nc = %d, d = %d\n", a, b, c, d);
    printf("\n");

    return 0;
}

#include<stdio.h>

int main()
{
    // 短整数变长整数，符号扩展，真值不变
    short m = -4321;
    int n = m;
    // 无符号数变有符号数，不改变数据内容，改变解释方式
    unsigned short p = (unsigned short)m;
    // 无符号数到无符号数的转变(短整型 -> 长整型，未发生溢出)，高位补0，真值不变
    unsigned int q = (unsigned int)p;
    printf("m = %d, n = %d\np = %d, q = %d\n", m, n, p, q);  
    printf("\n");

    // 无符号数到无符号数的转变(发生溢出)，结果为0
    printf("%d\n", sizeof(unsigned short)); // unsigned short占2个字节，存储的最大值为2^15 - 1 = 65535
    unsigned int x = 65535; // unsigned short范围内
    unsigned int y = 65536; // unsigned short范围外
    unsigned short z1 = (unsigned short)x;
    unsigned short z2 = (unsigned short)y; // 短整型—>长整型，溢出，结果为0
    printf("x = %d, z1 = %d\ny = %d, z2 = %d\n", x, z1, y, z2);

    return 0;
}