P2121 拆地毯

题目背景

还记得 NOIP 2011 提高组 Day1 中的铺地毯吗？时光飞逝，光阴荏苒，三年过去了。组织者精心准备的颁奖典礼早已结束，留下的则是被人们踩过的地毯。请你来解决类似于铺地毯的另一个问题。

题目描述

会场上有 n 个关键区域，不同的关键区域由 m 条无向地毯彼此连接。每条地毯可由三个整数 u、v、w 表示，其中 u 和 v 为地毯连接的两个关键区域编号，w 为这条地毯的美丽度。

由于颁奖典礼已经结束，铺过的地毯不得不拆除。为了贯彻勤俭节约的原则，组织者被要求只能保留至多 K 条地毯，且保留的地毯构成的图中，任意可互相到达的两点间只能有一种方式互相到达。换言之，组织者要求新图中不能有环。现在组织者求助你，想请你帮忙算出这至多 K 条地毯的美丽度之和最大为多少.

输入格式

第一行包含三个正整数 n、m、K。

接下来 m 行中每行包含三个正整数 u、v、w。

输出格式

只包含一个正整数，表示这 K 条地毯的美丽度之和的最大值。

5 4 3
1 2 10
1 3 9
2 3 7
4 5 3

22

我的总结如下：

 

这是一个经典的最大权重无环图的问题，可以使用图论中的最小生成树算法来解决。最常见的算法是Kruskal算法或者Prim算法。

   Kruskal算法步骤如下：

1. 将所有地毯按照美丽度 w 从大到小排序。
2. 依次考虑每条地毯，如果该地毯连接的两个关键区域不在同一个连通分量中，则选择该地毯。
3. 当选择了 n-1 条地毯后停止，此时得到的地毯集合就构成了最大权重的无环图

Prim算法步骤如下：

1. 选择一个起始点作为生成树的根节点。
2. 将该节点加入生成树，并将与该节点相连的边加入候选边集合。
3. 从候选边集合中选择权重最小的边，将其连接的节点加入生成树，并将新增节点的相连边加入候选边集合。
4. 重复步骤3，直到生成树包含了所有的节点。

下面是我用kruskal来做的代码：

#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int n, m, k, cnt = 0,ans=0;
int f[1000001];
struct node {
	int u;
	int v;
	int w;
}a[1000001];
bool cmp(struct node a, struct node b) {
	return a.w > b.w;
}
int find(int x) {
	return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
void krusal() {
	for (int i = 1; i <=m; i++) {
		int fa = find(a[i].u);
		int fb = find(a[i].v);
		if (fa == fb)continue;
		f[fa] = fb;
		ans += a[i].w;
		cnt++;
		if (cnt == k)return;
	}
}
int main() {
	cin >> n >> m >> k;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v, w;
		cin >> u >> v >> w;
		a[i].u = u;
		a[i].v = v;
		a[i].w = w;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)f[i] = i;
	sort(a + 1, a + 1 + m, cmp);
	krusal();
	cout << ans;
	return 0;
}